tanx平方的不定积分是什么？

Question

如题所述

Answer 1

tanx的平方的不定积分：

原式=S (sin x)^2/(cos x)^2 dx

=S [1-(cos x)^2]/(cos x)^2 dx

=S 1/(cos x)^2 dx - S 1dx

S 1dx = x + C

S 1/(cos x)^2 dx中

令 t=1/cos x

则 dx = (cos x)^2/sin x dt

即 dx = 1/{ t [(t^2 - 1)]^0.5 } dt

∴ S 1/(cos x)^2 dx

= S t^2 /{ t [(t^2 - 1)]^0.5 } dt

= S t /[(t^2 - 1)]^0.5 dt

= 1/2 S 1/[(t^2 - 1)]^0.5 d(t^2)

= (t^2 - 1)^0.5 + C

= [1/(cos x)^2 - 1]^0.5 + C= tan x + C

∴S (tan x)^2 dx= tan x - x + C

解释

根据牛顿-莱布尼茨公式，许多函数的定积分的计算就可以简便地通过求不定积分来进行。这里要注意不定积分与定积分之间的关系：定积分是一个数，而不定积分是一个表达式，它们仅仅是数学上有一个计算关系。

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分；若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。