求导一次正负表示函数增减性
求导两次次正负表示函数凹凸性 两次求导不变号，说明凹凸性不变
极值点为凹凸性改变处的点 两次求导不变号，说明凹凸性不变，极值点不存在
有无零点需根据曲率圆来判断凹凸性
先了解曲率圆，如下图
x²+y²=2表示以原点为圆心半径为根号2的圆 曲率为半径分之1>0 曲线为凹曲线
凹曲线必然会与坐标轴有交点 即该函数有零点
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零点判断这个知识点能继续在补充一点吗
题目中给出的区间（1，2）在这道题怎么用
追答f(x)在（1,1）点的切线为y=-x+2(可由圆方程得知），该切线与坐标轴交点为（2,0）
又曲率圆在曲线内部，曲率圆与x轴交点（根号2,0）
f(x)为凹曲线，不会超越切线
所以零点必然在（根号2,2）之间，即也在（1,2）之间
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第1个回答 2021-07-08
曲率中心 ζ = x - y'(1+y'^2)/y'', η = y + (1+y'^2)/y''
在点 P(1, 1)， ζ = 1 - y'(1+y'^2)/y'' = 0， η = 1 + (1+y'^2)/y'' = 0，
(1+y'^2)/y'' = -1， y'(1+y'^2)/y'' = 1，则 y' = -1， y'' = -2。
函数在 点 P(1, 1) 单调减少，且下凹。故在区间 (1, 2) 无极值点，有零点， 选 B。
事实上，圆曲线 x^2+y^2 = 2 本身就满足本题条件，它在区间 (1, 2) 无极值点，有零点，
在点 P(1, 1)， ζ = 1 - y'(1+y'^2)/y'' = 0， η = 1 + (1+y'^2)/y'' = 0，
(1+y'^2)/y'' = -1， y'(1+y'^2)/y'' = 1，则 y' = -1， y'' = -2。
函数在 点 P(1, 1) 单调减少，且下凹。故在区间 (1, 2) 无极值点，有零点， 选 B。
事实上，圆曲线 x^2+y^2 = 2 本身就满足本题条件，它在区间 (1, 2) 无极值点，有零点，
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