方差的运算具有线性性质吗

Question

如题所述

Answer 1

方差的运算不具有线性性质。

方差是在概率论和统计方差衡量随机变量，而随机变量的方差不具有线性性质。在统计描述中，方差用来计算每一个变量（观察值）与总体均数之间的差异。为避免出现离均差总和为零，离均差平方和受样本含量的影响，统计学采用平均离均差平方和来描述变量的变异程度。

方差

定义

方差是一种特殊的期望，被定义为：

Var(x)=E((x−E(x))2)Var(x)=E((x−E(x))2)

性质

1、展开表示

反复利用期望的线性性质，可以算出方差的另一种表示形式：

Var(x)=E((x−E(x))2)=E(x2)−(E(x))2Var(x)=E((x−E(x))2)=E(x2)−(E(x))2

2、常数的方差

常数的方差为0，由方差的展开表示很容易推得。

3、线性组合的方差

方差不满足线性性质，两个变量的线性组合方差计算方法如下：

Var(ax+by)=a2Var(x)+b2Var(y)+2Cov(x,y)Var(ax+by)=a2Var(x)+b2Var(y)+2Cov(x,y)

其中Cov(x,y)Cov(x,y)为x和y的协方差，下一节讨论。

4、独立变量的方差

如果两个变量相互独立，则：

Var(ax+by)=a2Var(x)+b2Var(y)Var(ax+by)=a2Var(x)+b2Var(y)

作为推论，如果x和y相互独立：Var(x+y)=Var(x)+Var(y)Var(x+y)=Var(x)+Var(y)。

协方差

定义

两个随机变量的协方差被定义为：

Cov(x,y)=E((x−E(x))(y−E(y)))Cov(x,y)=E((x−E(x))(y−E(y)))

因此方差是一种特殊的协方差。当x=yx=y时，Cov(x,y)=Var(x)=Var(y)Cov(x,y)=Var(x)=Var(y)。

性质

1、独立变量的协方差

独立变量的协方差为0，可以由协方差公式推导出。

2、线性组合的协方差

协方差最重要的性质如下：

Cov(∑mi=1aixi,∑nj=1bjyj)=∑mi=1∑nj=1aibjCov(xi,yj)Cov(∑i=1maixi,∑j=1nbjyj)=∑i=1m∑j=1naibjCov(xi,yj)

很多协方差的计算都是反复利用这个性质，而且可以导出一些列重要结论。

作为一种特殊情况：

Cov(a+bx,c+dy)=bdCov(x,y)Cov(a+bx,c+dy)=bdCov(x,y)

另外当x=y时，可以导出方差的一般线性组合求解公式：

Var(∑nk=1aixi)=∑ni=1∑nj=1aiajCov(xi,xj)

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