问两个行列式和概律问题？
问几个问题
1：如何证明行列式与其转置相等；
2：n 阶行列式展开的证明；
3：为何任何一个n阶排列都可以经过对换变成自然序排列，并且所作对换个数与这个排列有相同的奇偶性？
4：如何从几何上看事件A，B独立，则A’，B也独立？
5：如何能用语言描述事件A，B，C两两独立则A，B，C不一定总起来独立？
谢谢指点！
楼下的，非常感谢。但是你的前三个问我不甚理解啊!
1:如第三个问：对换是任意的而冒泡法只是一种特殊的形式，又如何说明任意方式对换到自然数列后都有对换次数的奇偶性与逆序数 τ（12……n）的奇偶性相同？
2:补充两问也加了50分；为何△Z=A△X+B△Y+o(c);其中c=√△X^2+△Y^2;此时为了求Z对X的偏导数；为何可以将△Y等于零啊，在Z的全微分中△Y可以随便令值吗?为什么？
3:二元全微分△Z=A△X+B△Y+o(c);其中c=√△X^2+△Y^2是人为定的吗？为什么？
非常感谢大家的指点！衷心祝福你们！
1。首先设A为行列式对应的矩阵，令|A|=d为A安某一行展开的结果,由于行列式按行和按列展开结果相同，则|A'|按列展开即|A|按行展开也为d,证毕！
2.这个好像用数学归纳法，具体我也不大清楚
3.自然排列的逆序数为0，即为偶数，若原排列逆序数为偶数则要经过对换变为偶数也应兑换偶数次，若原排列为奇数则要经过对换变为偶数也应兑换奇数次。
即任意方式对换到自然数列后都有对换次数的奇偶性与逆序数 τ（12……n）的奇偶性相同
4.A,B互信独立也就是说包含他们的样本空间互不相交，你画成图形就是下面图形，显然A'于B独立。
5，用投筛子来做，很简单，你学过概率的话很容易。
关于补充题，2.z(x,y）可以写为△Z=A△X+B△Y+o(c) 很明显A,B分别为关于X.Y的偏导数。令△Y=0，而o(c)为关于X，Y的无穷小量两边同除以△X，可得△为Z关于X的偏导。在全微分中为的计算或者证明完全可以随便赋值，应为△X,△Y是不相关的两个变量。。
3。如果你不着急找答案的话我可以回去找课本看一下。
⑴。|A|＝∑（-1）^J（j1,……jn）a（1.j1）……a（n,jn）①
其中J（j1,……jn）是（j1,……jn）的逆序数，∑是n!项求和。
取定①中一个固定项：K=（-1）^J（j1,……jn）a（1.j1）……a（n,jn）
重新排列元素的秩序。K=（-1）^J（j1,……jn）a（i1,1）……a（in,n）
i, ……，n
ji,……,jn→多次“列对换”→
i1,……，in
1, ……, n
每次“列对换”都同时改变上排排列与下排排列的逆序数的奇偶性一次。
i, ……，n→i1,……，in与ji,……,jn→i, ……，n用了相同次数的对换，
可知i1,……，in与ji,……,jn的逆序数有相同的奇偶性。
∴（-1）^J（i1,……，in）＝（-1）^J（j1,……，jn）
K=（-1）^J（i1,……in）a（i1,1）……a（in,n）
|A′|＝∑（-1）^J（i1,……in）a（i1,1）……a（in,n）
＝∑（-1）^J（j1,……jn）a（1.j1）……a（n,jn）＝|A|
⑶.（i1,……，in）→K次对换→（1，……，n）①
又（i1,……，in）→L次对换→（1，……，n）②
先用“②倒作走”再①。
（1，……，n）→L+K次对换→（1，……，n）
对换一次，改变一次排列的奇偶性，∴L+K是偶数，L,K奇偶性相同。
⑸,两两独立只要三个式子：P（AB）＝P（A）P（B）.P（AC）＝P（A）P（C）.
P（BC）＝P（B）P（C）.
总起来独立，除了这三个成立外，还要添上P（ABC）＝P（A）P（B）P（C）.
最简单的例子为“四面三色骰子”（骰子为正四面体形，三个面分别涂上
红，绿，蓝，第四面分成三块，分别涂上此三色，）。投置一次：（在专门的
容器中，使只能一个面朝上）A;有红色，B:有绿色，C:有蓝色。
容易验证，前三个式子都成立（两边皆1/4），第四个不成立（1/8≠1/4）
即两两独立的事件组不一定总体独立。
⑴。|A|＝∑（-1）^J（j1,……jn）a（1.j1）……a（n,jn）①
其中J（j1,……jn）是（j1,……jn）的逆序数，∑是n!项求和。
取定①中一个固定项：K=（-1）^J（j1,……jn）a（1.j1）……a（n,jn）
重新排列元素的秩序。K=（-1）^J（j1,……jn）a（i1,1）……a（in,n）
i, ……，n
ji,……,jn→多次“列对换”→
i1,……，in
1, ……, n
每次“列对换”都同时改变上排排列与下排排列的逆序数的奇偶性一次。
i, ……，n→i1,……，in与ji,……,jn→i, ……，n用了相同次数的对换，
可知i1,……，in与ji,……,jn的逆序数有相同的奇偶性。
∴（-1）^J（i1,……，in）＝（-1）^J（j1,……，jn）
K=（-1）^J（i1,……in）a（i1,1）……a（in,n）
|A′|＝∑（-1）^J（i1,……in）a（i1,1）……a（in,n）
＝∑（-1）^J（j1,……jn）a（1.j1）……a（n,jn）＝|A|
⑶.（i1,……，in）→K次对换→（1，……，n）①
又（i1,……，in）→L次对换→（1，……，n）②
先用“②倒作走”再①。
（1，……，n）→L+K次对换→（1，……，n）
对换一次，改变一次排列的奇偶性，∴L+K是偶数，L,K奇偶性相同。
⑸,两两独立只要三个式子：P（AB）＝P（A）P（B）.P（AC）＝P（A）P（C）.
P（BC）＝P（B）P（C）.
总起来独立，除了这三个成立外，还要添上P（ABC）＝P（A）P（B）P（C）.
最简单的例子为“四面三色骰子”（骰子为正四面体形，三个面分别涂上
红，绿，蓝，第四面分成三块，分别涂上此三色，）。投置一次：（在专门的
容器中，使只能一个面朝上）A;有红色，B:有绿色，C:有蓝色。
容易验证，前三个式子都成立（两边皆1/4），第四个不成立（1/8≠1/4）
即两两独立的事件组不一定总体独立。
1.满秩（可逆）矩阵可以分解成初等矩阵乘积，显然三种初等矩阵转置行列式不变，所以一般矩阵也不变。
2.行列式是满足初等变换那三条性质（交换两行行列式不变什么的）的唯一积性函数，所以只用验证行列式展开式满足三条性质，并且单位阵行列式是1就可以了。
3.参考冒泡排序。从前往后看到前一个大的就对换，顺一遍后n到了最后一个，再顺一遍n-1到了倒数第二个，再顺一遍……
每做一次对换逆序对个数奇偶性都会改变，所以对换个数与逆序对个数奇偶性相同。
4.P(A'B)=P(B)-P(AB)=P(B)-P(A)P(B)=P(B)(1-P(A))=P(B)P(A')
=>A'，B独立。不知道几何上看是什么意思。但是数学上，概率又叫概率测度，是测度的一种（全集上为1的测度）。平面上面积，空间上体积，也是测度的一种（Lebesgue测度）。所以它们本来就是差不多的。
5.将一个大正方形分成四个小正方形1，2，3，4，在大正方形里随机点个点，令事件A={落在1或者2}
B={落在1或者3}
C={落在1或者4}
则P(AB)=P(落在1)=1/4=1/2*1/2=P(A)*P(B)，其余两个类似
但P(ABC)=P(落在1)=1/4<>1/2*1/2*1/2=P(A)*P(B)*P(C)
1。首先设A为行列式对应的矩阵，令|A|=d为A安某一行展开的结果,由于行列式按行和按列展开结果相同，则|A'|按列展开即|A|按行展开也为d,证毕！
2.这个好像用数学归纳法，具体我也不大清楚
3.自然排列的逆序数为0，即为偶数，若原排列逆序数为偶数则要经过对换变为偶数也应兑换偶数次，若原排列为奇数则要经过对换变为偶数也应兑换奇数次。
即任意方式对换到自然数列后都有对换次数的奇偶性与逆序数 τ（12……n）的奇偶性相同
4.A,B互信独立也就是说包含他们的样本空间互不相交，你画成图形就是下面图形，显然A'于B独立。
5，用投筛子来做，很简单，你学过概率的话很容易。
关于补充题，2.z(x,y）可以写为△Z=A△X+B△Y+o(c) 很明显A,B分别为关于X.Y的偏导数。令△Y=0，而o(c)为关于X，Y的无穷小量两边同除以△X，可得△为Z关于X的偏导。在全微分中为的计算或者证明完全可以随便赋值，应为△X,△Y是不相关的两个变量。。
3。如果你不着急找答案的话我可以回去找课本看一下。
2.行列式是满足初等变换那三条性质（交换两行行列式不变什么的）的唯一积性函数，所以只用验证行列式展开式满足三条性质，并且单位阵行列式是1就可以了。
3.参考冒泡排序。从前往后看到前一个大的就对换，顺一遍后n到了最后一个，再顺一遍n-1到了倒数第二个，再顺一遍……
每做一次对换逆序对个数奇偶性都会改变，所以对换个数与逆序对个数奇偶性相同。
4.P(A'B)=P(B)-P(AB)=P(B)-P(A)P(B)=P(B)(1-P(A))=P(B)P(A')
=>A'，B独立。不知道几何上看是什么意思。但是数学上，概率又叫概率测度，是测度的一种（全集上为1的测度）。平面上面积，空间上体积，也是测度的一种（Lebesgue测度）。所以它们本来就是差不多的。
5.将一个大正方形分成四个小正方形1，2，3，4，在大正方形里随机点个点，令事件A={落在1或者2}
B={落在1或者3}
C={落在1或者4}
则P(AB)=P(落在1)=1/4=1/2*1/2=P(A)*P(B)，其余两个类似
但P(ABC)=P(落在1)=1/4<>1/2*1/2*1/2=P(A)*P(B)*P(C)