二项式定理的公式为：（a+b）^n=Σ（i从0到n）C（n，i）*a^i* b^（n-i），其中C（n，i）表示组合数，即从n个不同元素中选取i个元素的组合数。
这个公式的证明可以通过数学归纳法或者利用多项式定理来进行。在多项式定理中，我们可以将（a+b）视为一个多项式，然后利用多项式定理得到它的展开式，从而得到二项式定理的公式。
二项式定理还有一些性质和变体。例如，当b等于1时，二项式定理就变成了帕斯卡三角形的形式。当a和b都等于1时，二项式定理就变成了伯努利数的形式。这些变体和性质进一步扩展了二项式定理的应用范围和表现形式。
二项式定理是一个基本的数学定理，它描述了给定一个幂级数的展开式的系数规律。这个定理可以用来解决很多数学问题，包括组合数学、代数、概率论等领域。二项式定理最初用于开高次方。1654年，法国的帕斯卡最早建立了一般正整数次幂的二项式定理，因此算术三角形在西方至今仍以他的名字命名。
二项式定理的应用：
1、组合数学：二项式定理可以用于计算组合数和排列数。在组合数学中，二项式定理用于计算从n个不同元素中选取k个元素的组合数，或者将n个元素排列成k个不同位置的排列数。这是二项式定理在组合数学中最基本的应用。
2、代数：在代数中，二项式定理用于展开一个多项式或者求解一个方程。例如，利用二项式定理可以将（a+b）^n展开成a^n+C（n，1）a^（n-1）b+...+C（n，n-1）ab^（n-1）+b^n的形式。这个应用场景是二项式定理在代数中最经典的应用之一。
3、概率论：在概率论中，二项式定理可以用于计算一些事件的概率或者期望值。例如，可以利用二项式定理计算伯努利试验中事件A恰好发生k次的概率。此外，二项式定理还可以用于计算离散随机变量的方差、协方差和相关系数等统计量。
4、微积分：在微积分中，二项式定理可以用于近似计算一些函数的值。例如，可以利用二项式定理将sin（x）展开成泰勒级数。此外，二项式定理还可以用于求解一些微分方程的近似解。
5、物理学：在物理学中，二项式定理可以用于描述量子力学中的波函数和角动量等问题的解。此外，二项式定理还可以用于计算一些物理量的近似值，例如行星的运动轨迹等。
6、计算机科学：在计算机科学中，二项式定理可以用于优化算法和提高计算效率。例如，可以利用二项式定理来快速计算阶乘和幂运算。此外，二项式定理还可以用于实现一些数据结构和算法的设计，例如快速排序和归并排序等。