如何证明三角形的重心把各边中线分为2：1两部分，向量办法

Question

如题所述

Answer 1

设三角形ABC的三条中线分别为AD、BE、CF，求证AD、BE、CF交于一点O，且AO：OD=BO：OE=CO：OF=2：1
证明：用归一法
不妨设AD与BE交于点O，向量BA=a,BC=b,则CA=BA-BC=a-b
因为BE是中线，所以BE=(a+b)/2,向量BO与向量BE共线，故设BO=xBE=(x/2)(a+b)
同理设AO=yAD=(y/2)(AB+AC)=y/2(-a+b-a)=-ya+(y/2)b
在三角形ABO中，AO=BO-BA
所以-ya+(y/2)b=(x/2)(a+b)-a=(x/2-1)a+(x/2)b
因为向量a和b线性无关，所以
-y=x/2-1
y/2=x/2
解得x=y=2/3
所以A0：AD=BO：BE=2：3
故AO：OD=BO：OE=2:1
设AD与CF交于O',同理有AO’：O'D=CO':O'F=2:1
所以有AO:OD=AO':O'D=2:1,注意到O和O’都在AD上，因此O=O’
因此有AO：OD=BO：OE=CO:OF=2:1
证毕！

Answer 2

设这个三角形为abc,d.e.f分别为ab
bc
ac交点,cd
ae
bf交于o,则o为重心.,连de,则有de为其中位线,则有de//ac,且de:ac=1:2,
因为de//ac,由其分线段成比例得ac:de=oa:oe=oc:od=2:1,
同理其他也得证