排列组合分堆分配问题的理解

Question

（2010江西理数）14.将6位志愿者分成4组，其中两个各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有 种（用数字作答）。答案：1080
每次做题的时候，只是习惯性的除以2！，但我感觉总是对除以2！理解的不到位，希望可以有人给我仔细讲讲。谢谢

Answer 1

这是排列组合中的平均分组问题，
平均分组有两类
第一类把一个整体平均分成几份，每份相同的。
例如1、把2个人平均分成2组，则只有一种分法，C[2,1]*C[1,1]/A[2,2]=1
例如2、把三个人平均分成3组，每组肯定一人，则也只有一种分法。列式为
C[3,1]*C[2,1]*C[1,1]/A[3,3]=1
以此类推，平均分组问题是数学排列组合中的难点，从上面的例子可以看出，平均分成2组除以A[2,2],平均分成三组除以A[3,3],四组呢？当然除以A[4,4].
这是为什么呢？
C[3,1]*C[2,1]*C[1,1]。看看这个式子，表达的是从3个里拿一个，然后再从2个里再拿一个，剩下的再拿一个。有先后顺序的不同。那么也就是说拿的顺序影响了结果，那是排列问题，分组是组合问题，这样就重复了排列，所以要相除。

第二类把一个整体分成几份，分的份中有相同的
例如你问的问题，就是这类问题，
如果上面的那类你明白了，这个很好解释的，
例如1、将6位志愿者分成4组，其中两个各2人，另两个组各1人
分成2、2、1、1。
实际上就是两次平均分组
这个问题可以认为是分成2步完成，第一步把四个人平均分2组，
第二步把两人平均2组，每一步都是第一类问题。当然要除以2次A[2,2]了

像第二类的平均分组问题还有这样的
1、1、3、4、5 （C[14,1]*C[13,1]/A[2,2]*C[12,3]*C[9,4]*C[5,5]）
1、2、2、3、6 （C[14,1]*C[13,2]*C[11,2]]/A[2,2]*C[9,3]*C[6,6]）
1、3、3、3、4 （C[14,1]*C[13,3]*C[10,3]*C[7,3]/A[3,3]*C[4,4])
无论分成什么样的组，只要有相同的组，就叫做平均分组，都要除以A[]
有几个相同的都要除以A几几

Answer 2

解： 由于题目已经告诉 将6名志愿者分成了2名、2名、1名、1名 即6=2 2 1 1 所以先从6名中任选2名 有C(6,2)种 再剩下的4名中任选2名 有C(4,2)种 从剩下的2名任选1名 有C(2,1)种 最后从余下的1名中任选1名 有C(1,1)种 由于再分配过程中出现两次均分 所以要除以A(2,2)*A(2,2) 所以分配共有 [C(6,2)*C(4,2)*C(2,1)*C(1,1)]/[A(2,2)*A(2,2)]=(15*6*2)/4=45种 最后将其安排到4个场馆 即做排列 要乘以A(4,4)=24 由此可见 有45*24=1080种 ！

附：所以应该除以两个2！ 不是除以一个2！ 另外像这种含有均分问题的排列组合 最好的方法就是 先进行分 后再进行排 这样好理解些 所以以后你要是遇到这种题 就这样去做了 ！

希望可以帮助得到你 ！

参考资料：如果您的回答是从其他地方引用，请表明出处

Answer 3

平均分配啊，因为分两人一组时会出现重复，所以要除以2

Answer 4

简单得很的东西 呵呵 等我想想你悬赏撒 再多点吧兄弟？