负二项分布及其应用

Question

如题所述

Answer 1

负二项分布，这一看似低调的统计学工具，却蕴含着丰富的内涵和广泛的应用。它犹如一座桥梁，连接着伯努利过程的基石、几何分布的脉络，以及泊松分布的边界，同时揭示了过dispersion现象的秘密。理解负二项分布，就是掌握了描述失败次数的魔力，它从几何分布的精髓中脱胎，通过期望方差MGF的推导，为我们揭示了其内在的结构和特性。

负二项分布的本质是gamma-poisson的完美融合，其中参数λ的分布遵循gamma分布，具体表现为λ~Gamma(r0, bo)，这使得X的边际分布呈现为NB(r0, b0/(1+b0))。一个显著的特性是，尽管在大r值接近泊松分布时显得收敛，但在小r时，负二项分布的方差超越泊松分布，展示了过dispersion的特性。与gamma期望的契合，通过全期望公式得到了直观证明，显示了其作为混合分布的特性。

在统计建模的舞台，负二项分布尤其在计数资料的处理中大放异彩，如在广义线性模型(GLM)中，它被用于对稀有事件的次数进行精准预测。GLM的扩展性使得泊松和负二项分布成为首选，它们属于指数族，非负整数分布，分别对应于直观的泊松回归和关注条件期望与方差的负二项回归。

泊松回归以指数link function e^(·)确保了预测结果的非负性，而负二项回归则通过mean和variance的重参数化，或聚焦于期望值，提供了更为灵活的建模选项。在基因组学等领域，负二项回归因其在处理条件方差显著大于期望值的计数数据时的卓越表现，成为了不可或缺的工具。例如，在基因测序中，处理read计数时，负二项分布的运用就像几何分布与指数分布的关系，对应于伯努利过程和泊松过程的极限情况，展示了其适应性与广泛的应用场景。