函数f（x）=x²-2x+k。k∈R，当a+b≤2时，在定义域[a，b]内，值域也是[a，b]，求实数k的取值范围。

Question

求详解，要步骤。谢谢。

Answer 1

函数f（x）=x^2-2x+k。k∈R，当a+b≤2时，在定义域[a，b]内，值域也是[a，b]，求实数k的取值范围。
解析：∵函数f(x)=x^2-2x+k。k∈R，当a+b≤2时，在定义域[a,b]内，值域也是[a,b]
∴a<=b
b<=2-a==>a<=2-a
∴a<=1==>-a>=-1==>b>=1
∴a<=1<=b<=2-a
∵函数f(x)为开口向上的抛物线，对称轴为x=1最小值为f(1)=k-1
∴当x≥1时f(x)为增函数，x<1时f(x)为减函数，
k-1=a==>k=a+1
f(x)在区间[a,b]上的最大值为f(a)，f(b)较大者
∵a+b≤2==>(a+b)/2≤1
∴f(a)，f(b)较大者为f(a)
∴f(a)=b==> f(a)=a^2-2a+k=b
代入k得f(a)=a^2-a+1=b
即f(a)=a^2-a+1>=1
∴当a≤0，b≥1时k=a+1

当a<1，b<1时
易知f(x)在区间[a,b]上单调递减；则f(a)=b，f(b)=a
即a^2-2a+k=b，b^2-2b+k=a
两式相减得a+b=1
两式相加得k=[3(a+b)-(a^2+b^2)]/2=[3-(a^2+b^2)]/2

Answer 2

a+b<=2
b<=2-a
a<b
a<2-a
a<1
-a>-1
b>2-a>1
因此，0=<a<1<b<=2，[a,b]=[0,2]
f(x)=x²-2x+k
=(x-1)²+k-1
开口向上，对称轴x=1，当x=1时，f(x)min=kmin-1=a=0 kmin=1
当x=0时，f(x)max=f(0)=1+kmax-1=kmax=b=2
实数k的取值范围：[1,2]

Answer 3

<=9/4................