已知a∈R,f(x)=a*2^x+a-2/2^x+1试求使f(x)为增函数的a值

Question

已知a∈R,f(x)=a*2^x+a-2/2^x+1（x∈R）试求使f(x)为增函数的a值
答出，有过程加分

Answer 1

f(x)=[a(2^x+1)-2]/(2^x+1)=a-2/(2^x+1)
因为2^x+1是增函数
所以2/(2^x+1)是减函数
所以-2/(2^x+1)是增函数
而a是常数，不影响单调性
所以a属于R

【解】：
（1） 首先由f(-x)=-f(x)得到：
(a•2^(-x)+a-2)/(2^(-x)+1)= - (a•2^x+a-2)/(2^x+1);
由于2^(-x)=1/2^x, 所以：
[a+(a-2)•2^x]/（2^x+1）=- (a•2^x+a-2)/(2^x+1);
即：
a+(a-2)•2^x =- (a•2^x+a-2)；
上式对任意x∈R都成立，故有：
a-2=-a, 所以a=1；

f(x)=[a(2^x+1)-2]/(2^x+1)=a-2/(2^x+1)
因为2^x+1是增函数
所以2/(2^x+1)是减函数
所以-2/(2^x+1)是增函数
而a是常数，不影响单调性
所以a属于R

若f（x）＝（a×2＾x＋a－2）／（2＾x＋1）为奇函数。〔1〕求a的值，并证明f（x）在R上是增函数；〔2〕求f（x）的值域。
2.（2） 所以f(x)=(2^x-1)/ (2^x+1);由于对x∈R，2^x>0,
对于y>0，f(y)=(y-1)/(y+1)= (y+1-2)/(y+1)=1-2/(y+1);
f(y)在y>0时递增,所以，而2x为x的递增函数，所以f(x)为递增函数；