求证函数f(x)在R上连续？

Question

如题所述

Answer 1

要证在R上连续，那么只需对任意一点x0∈R
证明f(x)在x=x0连续就可以了，要证在x=x0处连续
那么可以证明极限lim[x->x0]f(x)=f(x0)
而f(x)=f(x-x0)+f(x0)
∴lim[x->x0]f(x)=lim[x->x0](f(x-x0)+f(x0))
=lim[x->x0]f(x-x0)+f(x0)
令t=x-x0，则lim[x->x0]f(x-x0)=lim[t->0]f(t)
而条件已经有了f(x)在x=0处连续
即lim[t->0]f(t)=f(0)，∴lim[x->x0]f(x-x0)=f(0)
即lim[x->x0]f(x)=f(0)+f(x0)=f(0+x0)=f(x0)
即证明了f(x)在x=x0处连续，∴f(x)在R上连续