二次函数F(X)满足F(X+1)-F(X)=2X且F( 0)=1.求F(X)解析式

Question

如题所述

Answer 1

由f（0）=1，求得c，再由②f（x+1）-f（x）=2x．用待定系数法求得其解析式．
设y=ax
2
+bx+c（a≠0）
由f（0）=1得，c=1
∵f（x+1）-f（x）=2x
∴a（x+1）
2
+b（x+1）-ax
2
-bx=2x，

2ax+a+b=2x
∴2a=2
a+b=0
∴a=1
b=-1
∴f（x）=x
2
-x+1
②）在区间[-1，1]上，y=f（x）的图象恒在y=2x+m的图象上方，
等价于x
2
-x+1＞2x+m在[-1，1]上恒成立，等价于x
2
-3x+1＞m在[-1，1]上恒成立，
求出左边函数的最小值，即可求得实数m的取值范围．
∵在区间[-1，1]上，y=f（x）的图象恒在y=2x+m的图象上方∴x
2
-x+1＞2x+m在[-1，1]上恒成立
∴x
2
-3x+1＞m在[-1，1]上恒成立
令g（x）=x
2
-3x+1，则g（x）=（x-3/2）²-5/4
∴g（x）=x
2
-3x+1在[-1，1]上单调递减
∴g（x）
min
=g（1）=-1，
∴m＜-1

Answer 2

设F(x)=ax^2+bx+c
F(0)=1
=>
c=1
F(x+1)=a(x+1)^2+b(x+1)+c
F(x+1)-F(x)=2x
a(x^2+1+2x-x^2)+b=2x
2ax+a+b=2x
左右对应相等
2a=2
a+b=0
所以a=1
b=-1
则F(x)=x^2-x+1
望采纳
谢谢