a1=1,an+1=(1+1/n)an+(n+1)/2n

Question

在数列{an}中,a1=1,an+1=(1+1/n)an+(n+1)/2n 设bn=an/n,求数列bn的通项公式 求数列an的前n项和
a1=1,an+1=(1+1/n)an+(n+1)/2n
注意注意最后除的是2n,不是2^n

Answer 1

a(n+1)=(1+1/n)an+(n+1)/2n
a(n+1)=[(n+1)/n]an+(n+1)/n*1/2
n*a(n+1)=(n+1)an+(n+1)*1/2
a(n+1)/(n+1)-an/n=1/2n
an/n-a(n-1)/(n-1)=1/2(n-1)
.
a2/2-a1/1=1/2
等式两边相加可得：
an/n-a1/1=1/2+……+1/2(n-1)
bn=an/n=1+1/2+.+1/2(n-1)=(1-1/2^n)/(1-1/2)=2-2^(1-n)