已知函数f(x)是定义在(0，正无穷)上的函数,且对于任意实数x,y有f(xy)=f(x)+f(y)+2

Question

已知函数f(x)是定义在(0，正无穷)上的函数,且对于任意实数x,y有f(xy)=f(x)+f(y)+2 当x>1是 f(x)>-2
求证 f(x)在零到正无穷上是增函数
若f(2)=1，对任意的实数t，不等式f(t^2+1)-f(t^2-kt+1)小于等于6 恒成立，求实数k的取值范围
谢谢大神！

Answer 1

1）
证明：
f(x)定义在x>0，f(xy)=f(x)+f(y)+2
x>1时f(x)>-2
令x=y=1则有：f(1)=2f(1)+2
解得：f(1)=-2
设a>b>0，则a/b>1，f(a/b)>-2
f(a)-f(b)
=f(ab/b)-f(b)
=f(a/b)+f(b)+2-f(b)
=f(a/b)+2
>0
所以：f(a)>f(b)
所以：f(x)是递增函数
2）
f(2)=1
f(4)=2f(2)+2=2+2=4
f(t²+1)-f(t²-kt+1)<=6
f(t²+1)<=f(t²-kt+1)+2+f(4)
f(t²+1)<=f(4t²-4kt+4)
则有：t²+1<=4t²-4kt+4
所以：3t²-4kt+3>=0恒成立
判别式△=(-4k)²-4×3×3<=0
解得：k²<=9/4
所以：-3/2<=k<=3/2