高数题，二重积分求立体的体积！ 大学高数题，， 第14题的（4）问 希望可以详细详细写出步骤！

Question

高数题，二重积分求立体的体积！
大学高数题，，
第14题的（4）问

希望可以详细详细写出步骤！最好写在纸上，画出图！ 难点就是我想不到图，更不会画图！不会

我很想知道这种题有什么好的方法？
数学达人快来啊，我在线等你数学高手帮帮我，我很努力
，，，

Answer 1

考虑对称性，只计算第一卦限，再乘以8即可，

在第一卦限上，在XOY平面投影D为1/4圆，x^2+y^2=R^2,在XOZ平面也是1/4圆，而在YOZ平面投影是正方形，

V=8∫[D]∫√（R^2-x^2)dxdy

=8∫[0，R]dx∫[0，√（R^2-x^2)]   dy

=8∫[0，R] [0，√（R

^2-x^2)] √（R^2-x^2)  y dx

=8∫[0，R](R^2-x^2)dx

=8(R^2x-x^3/3[0,R]

=8(R^3-R^3/3)

=16R^3/3. 

 

向左转|向右转

 

也可用一元函数积分作，设圆柱面x^2+y^2=R^2和圆柱面x^2+z^2=R^2垂直相交，

在第一卦限内，公共体部分在YOZ平面上投影是正方形，在平行于YOZ平面上可以切出无数正方形“薄片”，边长分别为φ（x)=√（R^2-x^2),ψ(x)=√（R^2-x^2)

面积S(x)=φ（x)*ψ(x)=R^2-x^2,

∴V=8∫[0，R]（R^2-x^2)dx

=8（R^2x-x^3/3)[0,R]

=8(R^3-R^3/3)

=16R^3/3. 

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