(2003年山东省数学竞赛题):在18*18格的方格纸上的每一个方格中均填入一个彼此不相等的正整数,求证:无论哪种填法,至少有两对相邻的小方格(有一条公共的两个小方格称为一对相邻小方格),每对相邻的两小方格中所填之数的差均不小于10。
先看下图,18×18的方格共需要填写324个数字,给最小的数字命名为A,最大的数字命名为B,则B-A≥324-1=323。
①假设A和B分布在图中距离最远的两个方格,方格甲和方格乙。
此时,由方格甲到方格乙需要走的路线是最远的,并且存在两条相等的最远路线,他们是路线1和路线2。
路线1中,“相邻方格”的数量为(18-1)+(18-1)=34个。
路线2中,“相邻方格”的数量也是34个。
如果路线1中所有相邻的方格数字之差均小于10,即最大为9,那么:路线1中,方格甲和方格乙之间的最大值为34×9=306,这与B-A≥323矛盾。所以路线1中至少有一个相邻方格所填数值之差≥10。
同理路线2中也有一个相邻方格所填数值之差≥10。
即:至少有两对相邻的小方格,每对相邻的两小方格中所填之数的差均不小于10。
②假设图中A和B不在距离最远的两个方格,那么路线1和路线2中,“相邻方格”的数量<34个,按照上面的方法同样可证明:路线1和路线2中分别至少有一个相邻方格所填数值之差≥10,
即:至少有两对相邻的小方格,每对相邻的两小方格中所填之数的差均不小于10。
至此,命题得以证明。