连续型随机变量的数学期望，计算题~求助

Question

设市场对某种商品的需求量为随机变量X（单位：吨），它的分布密度为：

若售出这种商品1吨，可获利3万元，若销售不出去，则每吨需付仓储费1万元，应组织多少吨货源才能使收益的数学期望最大？
解：设m(吨)为组织货源，Y（万元）为收益，则有：

上面的步骤看不懂，特别是圈起来的那一步是怎么来的？还有

这个公式要怎么用？有了数字之后它是怎么计算出结果的~？

Answer 1

1、(4x-m)的积分结果为2x²-mx |[2000→m]=2m²-m²-2*2000²+2000m
3m的积分结果为3mx |[m→4000]=12000m-3m²

2、∫[-∞→+∞] yf(x) dx
=∫[-∞→2000] yf(x) dx + ∫[2000→4000] yf(x) dx + ∫[4000→+∞] yf(x) dx
=∫[-∞→2000] 0 dx + ∫[2000→4000] (y/2000) dx + ∫[4000→+∞] 0 dx
=∫[2000→4000] (y/2000) dx
=∫[2000→m] (y/2000) dx + ∫[m→4000] (y/2000) dx
=∫[2000→m] (4x-m)/2000 dx + ∫[m→4000] (3m/2000) dx追问

下面有点看懂了哈。。。
但是为什么 (4x-m)的积分结果为2x²-mx |[2000→m]？？ 3m的积分结果为3mx |[m→4000]？？是怎么来的啊？是把积分公式的X乘进去吗？那么(4x-m)的积分结果也应该是4x²-mx |[2000→m]？
还有，按你的积分结果算进去后面那一步的常数不是应该是4*10^6吗？怎么成了2*10^6了呢？（已经约分掉2了）
可以再讲详细点吗？

追答

你都学到概率的不会做这么简单的积分？
积分是导数的逆运算，会求导吧？2x²-mx求导后就是4x-m

追问

那个，我这个是自考哈。。。没有学过概率的。
那怎么求导数的逆运算啊？我只会直接求导。有公式吗？还有，后面的常数是怎么来的啊？

追答

求导和积分都是有基本公式的，公式很多。你可以在百度百科中搜一下。

追问

看了，多花点时间应该可以动的，那后面的常数2*10^6是怎么来的啊？我算出来的不一样啊~可以具体说一下吗？

追答

看我最上面给你写的：

(4x-m)的积分结果为2x²-mx |[2000→m]=2m²-m²-2*2000²+2000m
3m的积分结果为3mx |[m→4000]=12000m-3m²

把这两个结果相加就行了，和你画的图上一样的。