点差法求方程

Question

椭圆ax^2+by^2=1与直线ax+y=1交于A,B,M为AB中点,O为原点,OM的斜率为根号2/2,OA垂直于OB,求椭圆方程.
若将上题中的OA垂直于OB改成AB=2根号2,求椭圆方程

Answer 1

设A点坐标(x1,y1),B点坐标(x2,y2)，则：
x1+y1=1 (1)【交点满足直线方程】
x2+y2=1 (2)【交点满足直线方程】
a*x1^2+b*y1^2=1 (3)【交点满足椭圆方程】
a*x2^2+b*y2^2=1 (4)【交点满足椭圆方程】
(x1-x2)^2+(y1-y2)^2=(2(√2))^2 (5)【两点间距离公式】
((y1+y2)/2-0)/((x1+x2)/2-0))=√2/2 (6)【斜率公式】
以上共6个方程，6个未知数：a,b,x1,x2,y1,y2

(1)+(2),代入（6），得：x1+x2=4(√2-1)
(1)-(2),代入（5），得：(x1-x2)^2＝4
解以上两式，得：
x1=3-√2,x2=1-√2 或x1=1-√2，x2=3-√2，
代入（1）和（2），
得到y1=√2-2,y2=√2 或 y1＝√2 ,y2=√2-2
代入（3）和（4），得a=1/3,b=√2/3

真麻烦啊！