极坐标的二重积分，先θ后r好理解，但是先r后θ怎么理解呢？想不通啊

Question

如题所述

Answer 1

首先，我觉得你这个提问是有点问题的，二重积分中的积分次序，先什么后什么，是根据你计算的次序决定的，而不是先写哪个，就是先，你所说的先θ后r好理解，这种应该是平常最长见到的那种，∫ dθ∫ dr这种，而事实上，这种应该是先r后θ，也就是说，你不懂的，是先θ后r的情况

你想不通，我们就来看看二重积分里直角坐标跟极坐标的共通点，那就是，后积分的那个，它的积分上下限是固定的，是常数，就像你能理解的先r后θ一样，θ的范围是固定的，所以，要先θ后r的积分，第一步要做的，就是固定r，固定r之后，再看θ的范围

其实，极坐标中，这种先θ，后r的情况比较少见，实在不能理解，就先记住好了，给你看一个题

r=2cosθ，这表示的是圆，等式两端同时乘以r，可得r^2=2rcosθ，化为直角坐标就是x^2+y^2=2x

我们先作出积分区域，要先对θ积分，再对r积分，就要先固定r

当r固定时,θ的范围可以画一下,自然需要分成两个区域

当r在虚线以内时,θ下限是-π/4,上限由圆周确定.

当r超过虚线范围时,θ下限和上限都由圆周确定.追答

追问

非常感谢你的回答，我想问一下你说的虚线是什么？

追答

不好意思，我图片没有上传完

追问

我来看看

Answer 2

首先，我觉得你这个提问是有点问题的，二重积分中的积分次序，先什么后什么，是根据你计算的次序决定的，而不是先写哪个，就是先，你所说的先θ后r好理解，这种应该是平常最长见到的那种，∫
dθ∫
dr这种，而事实上，这种应该是先r后θ，也就是说，你不懂的，是先θ后r的情况
你想不通，我们就来看看二重积分里直角坐标跟极坐标的共通点，那就是，后积分的那个，它的积分上下限是固定的，是常数，就像你能理解的先r后θ一样，θ的范围是固定的，所以，要先θ后r的积分，第一步要做的，就是固定r，固定r之后，再看θ的范围
其实，极坐标中，这种先θ，后r的情况比较少见，实在不能理解，就先记住好了，给你看一个题
r=2cosθ，这表示的是圆，等式两端同时乘以r，可得r^2=2rcosθ，化为直角坐标就是x^2+y^2=2x
我们先作出积分区域，要先对θ积分，再对r积分，就要先固定r
当r固定时,θ的范围可以画一下,自然需要分成两个区域
当r在虚线以内时,θ下限是-π/4,上限由圆周确定.
当r超过虚线范围时,θ下限和上限都由圆周确定.

Answer 3

先r后θ其实也不难理解，反正求得实际是一个不规的曲顶体积，但是用极坐标进行这种计算时候，一定要清楚，原来用笛卡尔定限时候，用直线，而极坐标下就要改成曲线，才能定对

Answer 4

想不通就先承认它， 以后再慢慢想。

Answer 5

入