子空间的基的问题！！！求教！！

Question

给定生成元w1,w2,w3,w4，求他们张成的子空间的基。
为什么是把这些向量的坐标 竖 着写在一起，然后行变换来找基？

为什么矩阵中有主元的列对应的生成元就是基？
本人学的不是很好，可能表述上有问题……望各位大神指点！！
为什么非零行的首非零元所在列对应的向量即构成一个 极大无关组？

Answer 1

解：给定生成元w1,w2,w3,w4，它们张成的子空间记为U

将w1,w2,w3,w4看成是四个行向量，将它们竖着写在一起，形成一个矩阵。然后将它们化成行阶梯矩阵，就可以看出U的一个基。

如

 

这里w1=（1，-2，2，0，2）,w2=（1，-1，3，-1，4）,

       w3=（2，-1，7，-3，4）,w4=（-2，6，-2，-3，3）

则它们张成的子空间的一个基就是

（1，-2，2，0，2），（0，1，1，-1，2），（0，0，0，-1，3）

注意：w1,w2,w3,w4是线性空间U中的4个元素，而w1,w2,w3,w4之间进行线性的相加后得到元素仍在同一个线性空间U中，并且维数不变。所以，在上题中，经过行变换之后，得到的（1，-2，2，0，2），（0，1，1，-1，2），（0，0，0，-1，3）仍然可以张成U，并且很显然（1，-2，2，0，2），（0，1，1，-1，2），（0，0，0，-1，3）是线性无关的。因而是U的一个基。

参考资料：原创