假设f(x)在负无穷到正无穷内无穷次可导且满足

Question

设f(x)在负无穷到正无穷内无穷次可导且满足(1)f(x)n次求导后的绝对值小于等于M,x大于负无穷小于正无穷,n=1,2,3....
(2)f(1/m)=0,m=1,2....
证明：
(1)对于任意非负整数n，有f(0)多次可导后=0,
(2)f(x)恒等于0

Answer 1

证明：
1.
f 的任意阶导数也连续。
因为 f(1/m)=f(1/(m+1))=0 所以存在 1/(m+1)< x_1_m<1/m, 使得 f'(x_1_m)=0, m=1,2,...
x_1_m --> 0, 所以 f'(0)=lim(m-->无穷大）f'( x_1_m)=0
归纳法：
设存在 x_n_1>x_n_2>... >0 使得 f的n阶导数 在 x_n_i, i=1,2,.. ，处=0，x_n_m -->0. f的n阶导数 在 x=0处=0
于是，任给 m>0, 存在 x_n_(m+1)<x_(n+1)_m<x_n_m,使得 f的n+1阶导数 在 x_(n+1)_m处=0，
于是 根据 f的n+1阶导数 在 x=0处=0.
所以 f(0)任意次导数=0
2.
任给 x, 任给正整数n. 存在 t 使得：
f(x)=f(0)+f的1阶导数（0）/1! + f的2阶导数（0）/2! + f的n-1阶导数（0）/(n-1)! + f的n阶导数（t）/n!
= f的n阶导数（t）/n!
==》
|f(x)| <= M/n!
令 n--> 无穷大， 得 f(x)=0