如图,已知过坐标原点的抛物线经过A(x1,0),B(x2,3)两点,且x1,x2是方程x2+5x+6=0两

Question

如图，已知过坐标原点的抛物线经过A（x1，0），B（x2，3）两点，且x1、x2是方程x2+5x+6=0两根（x1＞x2），抛物线顶点为C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点E的坐标；
（3）P是抛物线上的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P使得以点P、M、O为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
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Answer 1

(1)x²+5x+6=0, (x+2)(x+3)=0, x=-2或-3；
x1>x2,则：x1=-2,x2=-3,故点A为(-2,0),点B为(-3,3).
设过原点的抛物线为y=ax²+bx,则：
0=a(-2)²+b(-2);
3=a(-3)²+b(-3).
解得:a=1,b=2.
所以，抛物线解析式为y=x²+2x.
(2)y=x²+2x=(x+1)²-2,则抛物线对称轴为x=-1;点A为(-2,0),则AO=2；
设点D在第一限内为(m,m²+2m),则DE=AO=2，即m-(-1)=2, m=1.
∴点D的纵坐标为1²+2x1=3,则点E的纵坐标也为3，故点E为(-1,3).
(3)作BH垂直X轴于H,则OH=|-3|=3,即OH=BH,∠BOH=45°,BO=3√2;
顶点C为(-1,-1),设对称轴交X轴于E,则OE=CE=1,∠COE=45°,OC=√2.
易知:∠BOC=90°,且BO/OC=3.
①当点P(m,m²+2m)在第一象限内时:
PM/OM=3或OM/PM=3,即:(m²+2m)/m=3或m/(m²+2m)=3,得：m=0,1或-5/3.
m=0或-5/3,舍去；则m=1,m²+2m=3.故点P为(1,3);
②点P(m,m²+2m)在第三象限内时：同理可求得点P为(-5/3,-5/9);
③点P(m,m²+2m)在第二象限内时：同理可求得点P为(-7/3,7/9)或(-5,15).
综上所述，本题中符合条件的点P共有四个,即(1,3),(-5/3,-5/9),(-7/3,7/9)和(-5,15).

Answer 2

分析：（1）通过解方程x2+5x+6=0求出x1、x2的值，就可以求出点A、B的坐标，再根据待定系数法就可以求出抛物线的解析式．
（2）①当OA为边时，根据E在x=-1上，能求出D的横坐标，根据平行四边形性质求出D的坐标即可；②OA为对角线时，根据平行四边形的对角线互相平分，求出D和C重合，进一步求出E的坐标；
（3）设P（m，m2+2m），根据勾股定理的逆定理求出直角三角形BOC，根据相似三角形的性质，得出比例式，代入求出即可．
解：（1）∵x1、x2是方程x2+5x+6=0的两根（x1＞x2），
解得原方程的两根分别是：x1=-2，x2=-3，
∴A（-2，0），B（-3，3），
设抛物线的解析式为，y=ax2+bx+c，则c=04a-2b=09a-3b=3，
解得：a=1b=2c=0，
∴抛物线的关系式是y=x2+2x．

（2）∵y=x2+2x，
∴对称轴为：x=-1，
①当OA为边时，
∵以A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，
∴DE∥AO，DE=AO=2，
∵E在对称轴x=-1上，
∴D的横坐标是1或-3，
∴D的坐标是（1，3）或（-3，3），此时E的坐标是（-1，3）；
②当AO是对角线时，则DE和AO互相平分，有E在对称轴上，且线段AO的中点横坐标是-1，
由对称性知，符号条件的点D只有一个，即是顶点C（-1，-1），此时E（-1，1），
综合上述，符合条件的点E共由两个，分别是E（-1，3）或E（-1，1）．

（3）假设存在，设P（m，m2+2m），
∵B（-3，3），C（-1，-1），
∴OB2=18，CO2=2，BC2=20，
∴BO2+CO2=BC2，
∴△OBC是直角三角形，∠COB=90°，OBOC=3，
∵以P、M、O为顶点的三角形和△BCO相似，
又∵∠COB=∠PMO=90°，
∴PMOM=OBOC=3，或PMOM=OCOB=13，
∴|m2+2mm|=3，|m2+2mm|=13
解得：m=1或-5或-53或-73，
∴存在P点，P的坐标是（1，3），（-5，15），（-53，-59），（-73，-79）．

Answer 3

我来补充一下第二问吧，设E(a,b),则D(-1,b)，由题意知DE=/-1-a/=2(绝对值的意思哈)，解得a=-3或a=1。所以E(-3,3)或E(1,3)。经检验两种情况都符合题意

Answer 4

x1、x2分别为-2和-3

设解析式为y=ax^2

带入即可

Answer 5

x²+5x+6=0
x=-2 x=-3