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二次函数基础练习
练习一 二次函数
1、 一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，通过仪器观察得到小球滚动的距离s（米）与时间t（秒）的数据如下表：
时间t（秒） 1 2 3 4 …
距离s（米） 2 8 18 32 …
写出用t表示s的函数关系式.
2、 下列函数：① ；② ；③ ；
④ ；⑤ ，其中是二次函数的是 ，其中 ，
，
3、当 时，函数 （ 为常数）是关于 的二次函数
4、当 时，函数 是关于 的二次函数
5、当 时，函数 +3x是关于 的二次函数
6、若点 A ( 2, ) 在函数 的图像上，则 A 点的坐标是＿＿＿＿.
7、在圆的面积公式 S＝πr2 中，s 与 r 的关系是（ ）
A、一次函数关系 B、正比例函数关系 C、反比例函数关系 D、二次函数关系
8、正方形铁片边长为15cm，在四个角上各剪去一个边长为x（cm）的小正方形，用余下的部分做成一个无盖的盒子．
(1)求盒子的表面积S（cm2）与小正方形边长x（cm）之间的函数关系式；
(2)当小正方形边长为3cm时，求盒子的表面积．
9、如图，矩形的长是 4cm，宽是 3cm，如果将长和宽都增加 x cm，
那么面积增加 ycm2， ① 求 y 与 x 之间的函数关系式.
② 求当边长增加多少时，面积增加 8cm2.
10、已知二次函数 当x=1时，y= -1；当x=2时，y=2，求该函数解析式.
11、富根老伯想利用一边长为a米的旧墙及可以围成24米长的旧木料，建造猪舍三间，如图，它们的平面图是一排大小相等的长方形.
（1） 如果设猪舍的宽AB为x米，则猪舍的总面积S（米2）与x有怎样的函数关系？
（2） 请你帮富根老伯计算一下，如果猪舍的总面积为32米2，应该如何安排猪舍的长BC和宽AB的长度？旧墙的长度是否会对猪舍的长度有影响？怎样影响？
参考答案1：1、 ；2、⑤，-1，1，0；3、≠2，3，1；6、（2，3）；7、D；8、 189；9、 ，1；10、 ；11、 当a<8时，无解， 时，AB=4,BC=8，当 时，AB=4,BC=8或AB=2,BC=16.
练习二 函数 的图象与性质
1、填空：（1）抛物线 的对称轴是 （或 ），顶点坐标是 ，当x 时，y随x的增大而增大，当x 时，y随x的增大而减小，当x= 时，该函数有最 值是 ；
（2）抛物线 的对称轴是 （或 ），顶点坐标是 ，当x 时，y随x的增大而增大，当x 时，y随x的增大而减小，当x= 时，该函数有最 值是 ；
2、对于函数 下列说法：①当x取任何实数时，y的值总是正的；②x的值增大，y的值也增大；③y随x的增大而减小；④图象关于y轴对称.其中正确的是 .
3、抛物线 y＝－x2 不具有的性质是（ ）
A、开口向下 B、对称轴是 y 轴 C、与 y 轴不相交 D、最高点是原点
4、苹果熟了，从树上落下所经过的路程 s 与下落时间 t 满足 S＝ gt2（g＝9.8），则 s 与 t 的函数图像大致是（ ）
A B C D
5、函数 与 的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
6、已知函数 的图象是开口向下的抛物线，求 的值.
7、二次函数 在其图象对称轴的左侧，y随x的增大而增大，求m的值.
8、二次函数 ，当x1＞x2＞0时，求y1与y2的大小关系.
9、已知函数 是关于x的二次函数，求：
（1） 满足条件的m的值；
（2） m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时x为何值时，y随x的增大而增大；
（3） m为何值时，抛物线有最大值？最大值是多少？当x为何值时，y随x的增大而减小？
10、如果抛物线 与直线 交于点 ，求这条抛物线所对应的二次函数的关系式.
参考答案2：1、(1)x=0,y轴，（0，0），>0，，<0，0，小，0; (2)x=0,y轴，（0，0），<，>， 0，大，0;2、④；3、C；4、A；5、B；6、-2；7、 ；8、 ；9、（1）2或-3，（2）m=2、y=0、x>0，（3）m=-3，y=0，x>0；10、
练习三 函数 的图象与性质
1、抛物线 的开口 ,对称轴是 ,顶点坐标是 ,当x 时, y随x的增大而增大, 当x 时, y随x的增大而减小.
2、将抛物线 向下平移2个单位得到的抛物线的解析式为 ,再向上平移3个单位得到的抛物线的解析式为 ,并分别写出这两个函数的顶点坐标 、 .
3、任给一些不同的实数k，得到不同的抛物线 ，当k取0， 时，关于这些抛物线有以下判断：①开口方向都相同；②对称轴都相同；③形状相同；④都有最底点.其中判断正确的是 .
4、将抛物线 向上平移4个单位后，所得的抛物线是 ，当x= 时，该抛物线有最 （填大或小）值，是 .
5、已知函数 的图象关于y轴对称，则m＝________；
6、二次函数 中，若当x取x1、x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当x取x1+x2时，函数值等于 .
参考答案3：1、下，x=0，（0，-3），<0，>0；2、 ， ，（0，-2），（0，1）；3、①②③；4、 ，0，小，3；5、1；6、c.
练习四 函数 的图象与性质
1、抛物线 ，顶点坐标是 ,当x 时,y随x的增大而减小， 函数有
最 值 .
2、试写出抛物线 经过下列平移后得到的抛物线的解析式并写出对称轴和顶点坐标.
（1）右移2个单位；（2）左移 个单位；（3）先左移1个单位，再右移4个单位.
3、请你写出函数 和 具有的共同性质（至少2个）.
4、二次函数 的图象如图：已知 ，OA=OC，试求该抛物线的解析式.
5、抛物线 与x轴交点为A，与y轴交点为B，求A、B两点坐标及⊿AOB的面积.
6、二次函数 ，当自变量x由0增加到2时，函数值增加6.（1）求出此函数关系式.（2）说明函数值y随x值的变化情况.
7、已知抛物线 的顶点在坐标轴上，求k的值.
参考答案4：1、（3，0），>3，大，y=0;2、 ， ， ;3、略；4、 ；5、（3，0），（0，27），40.5；6、 ，当x<4时，y随x的增大而增大，当x>4时，y随x的增大而减小；7、-8，-2，4.
练习五 的图象与性质
1、请写出一个二次函数以（2, 3）为顶点，且开口向上.＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
2、二次函数 y＝(x－1)2＋2，当 x＝＿＿＿＿时，y 有最小值.
3、函数 y＝ (x－1)2＋3，当 x＿＿＿＿时，函数值 y 随 x 的增大而增大.
4、函数y= (x+3)2-2的图象可由函数y= x2的图象向 平移3个单位，再向 平移2个单位得到.
5、 已知抛物线的顶点坐标为 ，且抛物线过点 ，则抛物线的关系式是
6、 如图所示，抛物线顶点坐标是P（1，3），则函数y随自变量x的增大而减小
的x的取值范围是（ ）
A、x>3 B、x<3 C、x>1 D、x<1
7、已知函数 .
（1） 确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2） 当x= 时，抛物线有最 值，是 .
（3） 当x 时，y随x的增大而增大；当x 时，y随x的增大而减小.
（4） 求出该抛物线与x轴的交点坐标及两交点间距离；
（5） 求出该抛物线与y轴的交点坐标；
（6） 该函数图象可由 的图象经过怎样的平移得到的？
8、已知函数 .
（1） 指出函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2） 若图象与x轴的交点为A、B和与y轴的交点C，求△ABC的面积；
（3） 指出该函数的最值和增减性；
（4） 若将该抛物线先向右平移2个单位，在向上平移4个单位，求得到的抛物线的解析式；
（5） 该抛物线经过怎样的平移能经过原点.
（6） 画出该函数图象，并根据图象回答：当x取何值时，函数值大于0；当x取何值时，函数值小于0.
参考答案5：1、略；2、1；3、>1；4、左、下；5、 ；6、C；7、（1）下，x=2，（2，9），（2）2、大、9，（3）<2、>2,(4)( ,0)、( ,0)、 ，（5）（0，-3）；（6）向右平移2个单位，再向上平移9个单位；8、（1）上、x=-1、（-1，-4）；（2）（-3，0）、（1，0）、（0，-3）、6，（3）-4，当x>-1 时，y随x的增大而增大；当x<-1 时，y随x的增大而减小,(4) ；（5）向右平移1个单位，再向上平移4个单位或向上平移3个单位或向左平移1个单位；（6）x>1或x<-3、-3<x<1
练习六 的图象和性质
1、抛物线 的对称轴是 .
2、抛物线 的开口方向是 ，顶点坐标是 .
3、试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x=-2，且与y轴的交点坐标为（0，3）的抛物线的解析式 .
4、将 y＝x2－2x＋3 化成 y＝a (x－h)2＋k 的形式，则 y＝＿＿＿＿.
5、把二次函数 的图象向上平移3个单位，再向右平移4个单位，则两次平移后的函数图象的关系式是
6、抛物线 与x轴交点的坐标为_________；
7、函数 有最____值，最值为_______；
8、二次函数 的图象沿 轴向左平移2个单位，再沿 轴向上平移3个单位，得到的图象的函数解析式为 ，则b与c分别等于（ ）
A、6，4 B、－8，14 C、－6，6 D、－8，－14
9、二次函数 的图象在 轴上截得的线段长为（ ）
A、 B、 C、 D、
10、通过配方，写出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标：
（1） ； （2） ； （3）
11、把抛物线 沿坐标轴先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，问所得的抛物线有没有最大值，若有，求出该最大值；若没有，说明理由.
12、求二次函数 的图象与x轴和y轴的交点坐标
13、已知一次函数的图象过抛物线 的顶点和坐标原点
1） 求一次函数的关系式；
2） 判断点 是否在这个一次函数的图象上
14、某商场以每台2500元进口一批彩电.如每台售价定为2700元，可卖出400台，以每100元为一个价格单位，若将每台提高一个单位价格，则会少卖出50台，那么每台定价为多少元即可获得最大利润？最大利润是多少元？
参考答案6：1、x=-2；2、上、（3，7）；3、略；4、 ；5、 ；6、（-2，0）（8，0）；7、大、 ；8、C；9、A；10、（1） 、上、x=2、（2，-1），（2）
、下、 、（ ），（3） 、下、x=2、（2，-3）；11、有、y=6；12、（2，0）（-3，0）（0，6）；13、y=-2x、否；14、定价为3000元时，可获最大利润125000元
练习七 的性质
1、函数 的图象是以 为顶点的一条抛物线，这个二次函数的表达式为
2、二次函数 的图象经过原点，则此抛物线的顶点坐标是
3、如果抛物线 与 轴交于点 ，它的对称轴是 ，那么
4、抛物线 与x轴的正半轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，且线段AB的长为1，△ABC的面积为1，则b的值为______.
5、已知二次函数 的图象如图所示，
则a___0，b___0，c___0， ____0；
6、二次函数 的图象如图，则直线
的图象不经过第 象限.
7、已知二次函数 （ ）的图象如图所示，则下列结论：
1） 同号；2）当 和 时，函数值相同；3） ；4）当 时， 的值只能为0；其中正确的是
8、已知二次函数 与反比例函数 的图象在第二象限内的一个交点的横坐标是-2，则m=
9、二次函数 中，若 ，则它的图象必经过点（ ）
10、函数 与 的图象如图所示，
则下列选项中正确的是（ ）
A、 B、
C、 D、
11、已知函数 的图象如图所示，则函数 的图象是（ ）
12、二次函数 的图象如图，那么abc、2a+b、a+b+c、
a-b+c这四个代数式中，值为正数的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
13、抛物线 的图角如图，则下列结论：
① ＞0；② ；
③ ＞ ；④ ＜1.其中正确的结论是（ ）.
（A）①② （B）②③ （C）②④ （D）③④
14、二次函数 的最大值是 ，且它的图象经过 ， 两点，求 、 、
15、试求抛物线 与 轴两个交点间的距离（ ）
参考答案7：1、 ；2、（-4，-4）；3、1；4、-3；5、>、<、>、>；6、二；7、②③；8、-7；9、C；10、D；11、B；12、C；13、B；14、 ；15、
练习八 二次函数解析式
1、抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0), B(3,0), C(0,1)三点，则a= , b= , c=
2、把抛物线y=x2+2x-3向左平移3个单位，然后向下平移2个单位，则所得的抛物线的解析式为 .
3、 二次函数有最小值为 ，当 时， ，它的图象的对称轴为 ，则函数的关系式
为
4、根据条件求二次函数的解析式
（1）抛物线过（-1，-6）、（1，-2）和（2，3）三点
（2）抛物线的顶点坐标为（-1，-1），且与y轴交点的纵坐标为-3
（3）抛物线过（－1，0），（3，0），（1，－5）三点；
（4）抛物线在x轴上截得的线段长为4，且顶点坐标是（3，－2）；
5、已知二次函数的图象经过 、 两点，且与 轴仅有一个交点，求二次函数的解析式
6、抛物线y=ax2+bx+c过点(0,-1)与点(3,2)，顶点在直线y=3x-3上，a<0,求此二次函数的解析式.
7、已知二次函数的图象与x轴交于A（-2，0）、B（3，0）两点，且函数有最大值是2.
（1） 求二次函数的图象的解析式；
（2） 设次二次函数的顶点为P，求△ABP的面积.
8、以x为自变量的函数 中，m为不小于零的整数，它的图象与x轴交于点A和B，点A在原点左边，点B在原点右边.(1)求这个二次函数的解析式；(2)一次函数y=kx+b的图象经过点A，与这个二次函数的图象交于点C，且 =10,求这个一次函数的解析式.
参考答案8：1、 、 、1；2、 ；3、 ；4、（1）
、（2） 、（3） 、（4） ；5、 ；6、 ；7、（1） 、5；8、 、y=-x-1或y=5x+5
练习九 二次函数与方程和不等式
1、已知二次函数 与x轴有交点，则k的取值范围是 .
2、关于x的一元二次方程 没有实数根，则抛物线 的顶点在第_____象限；
3、抛物线 与 轴交点的个数为（ ）
A、0 B、1 C、2 D、以上都不对
4、二次函数 对于x的任何值都恒为负值的条件是（ ）
A、 B、 C、 D、
5、 与 的图象相交，若有一个交点在x轴上，则k为（ ）
A、0 B、-1 C、2 D、
6、若方程 的两个根是－3和1，那么二次函数 的图象的对称轴是直线（ ）
A、 ＝－3 B、 ＝－2 C、 ＝－1 D、 ＝1
7、已知二次函数 的图象与 轴只有一个公共点，坐标为 ，求 的值
8、画出二次函数 的图象，并利用图象求方程 的解，说明x在什么范围时 .
9、如图：
（1） 求该抛物线的解析式；
（2） 根据图象回答：当x为何范围时，该函数值大于0.
10、二次函数 的图象过A(-3,0),B(1,0),C(0,3),点D在函数图象上，点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数图象过点B、D，求（1）一次函数和二次函数的解析式，（2）写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围.
11、已知抛物线 .
（1）求证此抛物线与 轴有两个不同的交点；
（2）若 是整数，抛物线 与 轴交于整数点，求 的值；
（3）在（2）的条件下，设抛物线顶点为A，抛物线与 轴的两个交点中右侧交点为B.
若M为坐标轴上一点，且MA=MB，求点M的坐标.
参考答案9：1、 且 ；2、一；3、C；4、D；5、C；6、C；7、2，1；8、 ；9、（1） 、x<0或x>2；10、y=-x+1， ,x<-2或x>1;11、（1）略,(2)m=2,(3)(1，0)或（0，1）
练习十 二次函数解决实际问题
1、某农场种植一种蔬菜，销售员张平根据往年的销售情况，对今年种
蔬菜的销售价格进行了预测，预测情况如图，图中的抛物线表示这种蔬
菜销售价与月份之间的关系.观察图像，你能得到关于这种蔬菜销售
情况的哪些信息？（至少写出四条）
2、某企业投资100万元引进一条农产品生产线，预计投产后每年可创收33万元，设生产线投产后，从第一年到第 x 年维修、保养费累计为 y（万元），且 y＝ax2＋bx，若第一年的维修、保养费为 2 万元，第二年的为 4 万元.求：y 的解析式.
3、校运会上，小明参加铅球比赛，若某次试掷，铅球飞行的高度 y (m) 与水平距离 x (m) 之间的函数关系式为 y＝－ x2＋ x＋ ，求小明这次试掷的成绩及铅球的出手时的高度.
4、用 6m 长的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框，应做成长、宽各为
多少时，才能使做成的窗框的透光面积最大？最大透光面积是多少？
5、商场销售一批衬衫，每天可售出 20 件，每件盈利 40 元，为了扩大销售，减少库存，决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果一件衬衫每降价 1 元，每天可多售出 2 件.
① 设每件降价 x 元，每天盈利 y 元，列出 y 与 x 之间的函数关系式；
② 若商场每天要盈利 1200 元，每件应降价多少元？
③ 每件降价多少元时，商场每天的盈利达到最大？盈利最大是多少元？
6、有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为 4m，
跨度为 10m，如图所示，把它的图形放在直角坐标系中.
①求这条抛物线所对应的函数关系式.
②如图，在对称轴右边 1m 处，桥洞离水面的高是多少？
7、 有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20m，拱顶距离水面4m.
（1）在如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的解析式.
（2）在正常水位的基础上，当水位上升h(m)时，桥下水面的宽度为d(m)，试求出用d表示h的函数关系式；
（3）设正常水位时桥下的水深为2m，为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18m，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下顺利航行？
8、某一隧道内设双行线公路，其截面由一长方形和一抛物线构成，如图所示，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5m，若行车道总宽度AB为6m，请计算车辆经过隧道时的限制高度是多少米？（精确到0.1m）.
参考答案10：1、①2月份每千克3.5元 ②7月份每千克0.5克 ③7月份的售价最低 ④2～7月份售价下跌；2、y＝x2＋x；3、成绩10米，出手高度 米；4、 ，当x＝1时，透光面积最大为 m2；5、（1）y＝(40－x) (20＋2x)＝－2x2＋60x＋800，（2）1200＝－2x2＋60x＋800，x1＝20，x2＝10 ∵要扩大销售 ∴x取20元，（3）y＝－2 (x2－30x)＋800＝－2 (x－15)2＋1250 ∴当每件降价15元时，盈利最大为1250元；6、（1）设y＝a (x－5)2＋4，0＝a (－5)2＋4，a＝－ ，∴y＝－ (x－5)2＋4，（2）当x＝6时，y＝－ ＋4＝3.4(m)；7、（1） ，（2） ，（3）当水深超过2.76m时；8、 ， ， ， ，货车限高为3.2m.
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