有关抽象代数中的直积的一道题

Question

如题所述

Answer 1

仅供参考.

我们可将直积 G = A × B 看做一切 ordered pairs(带顺序的对子 ?)
G ={ (a,b) | a ∈ A 且 b ∈ B }
此时,作为 G 的子群
A = A × {1}, B = {1} × B
(这里等号可理解为等同看待(identification).)

现在假定 H = H × {1} 是 A 的正规子群,
首先 H 显然是 G 的子群 ( 子群具有"传递性" ); 其次, 必须验证
H × {1} 正规于 G = A × B ,
任取 (a,b) ∈ G , (h,1) ∈ H × {1} , 将 a 的逆元记作 a' , 我们有
(a,b)' (h,1) (a,b) = (a' , b') (h,1) (a,b) = (a' h a , 1 )
最后的结果属于 H × {1} 因为 a' h a ∈ H .来自：求助得到的回答

Answer 2

设H是A的正规子群，任给h1,h2属于A，b1,b2属于B，则(h1,b1)(h2,b2)^-1=(h1h2^-1,b1b2^-1)属于H×B,故是G的子群
任给a属于A，h属于H，b和b1属于B,则(a,b)(h,b1)(a,b)^-1=(h,bb1b^-1)属于H×B，因此H×B是G的正规子群