线性代数中如何求行列式的值

Question

如题所述

Answer 1

在线性代数中，求解行列式的值通常采用性质化三角化的方法。首先，从左到右逐列处理，将一个相对简单或较小的非零元素调整到矩阵的左上角，然后利用这个元素将第一列其余的元素变为零。完成第一列后，第一行和第一列就不再考虑，接着处理第二列（不包含第一行的数）。举例来说，我们有矩阵：

2 -5 3 1

1 3 -1 3

0 1 1 -5

-1 -4 2 -3

通过一系列行变换，如r1 + 2r4, r2 + r4 和 r1 + 13r3, r2 + r3，我们消除了a41和a32的非零值，使得矩阵变为：

0 0 20 -70

0 0 2 -5

0 1 1 -5

-1 -4 2 -3

继续处理，用a23=1消去a13和a43，得到：

0 0 0 -20

0 0 2 -5

0 1 1 -5

-1 -4 2 -3

最后，通过行的交换调整，使矩阵变为上三角形：

-1 -4 2 -3

0 1 1 -5

0 0 2 -5

0 0 0 -20

行列式的值可以通过这个上三角形的元素乘积得到，即：

行列式 = (-1)^(1+3+1) * (-1) * 2 * (-20) = 40

所以，求解行列式主要就是通过行变换将矩阵化简为上三角形式，然后利用元素乘积计算其值。