高中数学 用导数来求最值或单调区间，需要讨论的典型例题和详细答案

Question

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Answer 1

已知函数f(x)＝(x2＋ax－2a2＋3a)ex（xR），其中aR．
当a≠2/3时，求函数f(x)的单调区间与极值．
解：（1）当a＝0时，f(x)＝x2ex，f'
(x)＝(x2＋2x)
ex，故f'
(1)＝e．
所以曲线y＝f(x)在点（1，f(1)）处的切线的斜率为e．
（2）f'
(x)＝[x2＋(a＋2)x－2a2＋4a]
ex，
令f'
(x)＝0，解得x＝－2a，或x＝a－2．由a≠23知，－2a≠a－2．
以下分两种情况讨论：
①若a＞23，则－2a＜a－2．当x变化时，f'
(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
（－∞，－2a）
－2a
（－2a，a－2）
a－2
（a－2，＋∞）
f'
(x)
＋
0
—
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
函数f(x)在x＝－2a处取得极大值f
(－2a)＝3ae－2a；
在x＝a－2处取得极小值f
(a－2)＝（4－3a）e
a－2；
②若a＜23，则－2a＞a－2．当x变化时，f'
(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
（－∞，a－2）
a－2
（a－2，－2a）
－2a
（－2a，＋∞）
f'
(x)
＋
0
—
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
函数f(x)在x＝－2a处取得极小值f(－2a)＝3ae－2a；
在x＝a－2处取得极大值f(a－2)＝（4－3a）e
a－2．