高数曲线积分的问题

Question

算第二类曲线积分的时候，知道一个圆的方程，然后化成格林公式积分里的方程也是这个圆的方程，但是直接代去半径的平方再乘于闭区域的面积得出的结果不等于正确答案，这是为什么呢？高斯定理也会遇到这种情况

Answer 1

当然不对了，既然用了Green公式，积分范围就变成一个区域，而不是原来的曲线了。
注意：范围是一个圆，是包含其内部的，也就是x^2+y^2<r^2的点也是积分区域里面的，
你不能直接用最外面的x^2+y^2=r^2的点来代替，直接用r^2乘以圆面积来做。
等号只在边界取，在圆的内部根本没有x^2+y^2=r^2这个等式。追问

高斯定理里常常遇到一个立体Z=0和z=H之间（0《=z《=h），既然有了等号了，那为什么还不是闭区域，还得减掉这个区域呢

追答

？我猜你说的都是z＝f(x，y)，0<=z<=h这种类型的吧？
这样的一般都不是必的，所谓的闭一定是某个三维空间中的区域的边界曲面。
比如z＝x^2+y^2，0<=z<=h，（*）
区域G＝{(x，y，z): x^2+y^2<=z<=h，x^2+y^2<=h^2}
你如果对这些曲面了解的话就知道题目给的曲面不是G的边界曲面的全部，
只是一部分，用(*)表示的曲面可以说，永远不可能是闭的，因为
对给定的一个点(x，y)，只有惟一的一个z对应，没有两个z跟它对应，
怎么可能是闭的？