证明E为线段AB中点？

Question

已知PA、PB分别切⊙O于AB两点，PCD为⊙O的一条割线，C'是点C关于直线OP的对称点，C'D交AB于E求证：点E为线段AB中点

Answer 1

解：

（1）如图1，连接BD，则BD平分∠ABC，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AD∥BC，

∴∠A+∠ABC=180°，

∵∠A=60°，

∴∠ABC=120°，

∴∠ABD=1212∠ABC=60°，

∴△ABD是等边三角形，

∴BD=AD=4，

∵E是AB的中点，

∴DE⊥AB，

由勾股定理得：DE=√42224222=2√33，

∵DC∥AB，

∴∠EDC=∠DEA=90°，

在Rt△DEC中，DC=4，

EC=√DC2+DE2DC2+DE2=√42+（2√3）242+（23）2=2√77；

（2）如图2，延长CD至H，使CD=DH，连接NH、AH，

∵AD=CD，

∴AD=DH，

∵CD∥AB，

∴∠HDA=∠BAD=60°，

∴△ADH是等边三角形，

∴AH=AD，∠HAD=60°，

∵△AMN是等边三角形，

∴AM=AN，∠NAM=60°，

∴∠HAN+∠NAG=∠NAG+∠DAM，

∴∠HAN=∠DAM，

在△ANH和△AMD中，

∵⎧⎪⎨⎪⎩AH=AD∠HAN=∠DAMAN=AM{AH=AD∠HAN=∠DAMAN=AM，

∴△ANH≌△AMD（SAS），

∴HN=DM，

∵D是CH的中点，Q是NC的中点，

∴DQ是△CHN的中位线，

∴HN=2DQ，

∴DM=2DQ

本题考查了菱形的性质、三角形的中位线、三角形全等的性质和判定、等边三角形的性质和判定，本题证明△ANH≌△AMD是关键，并与三角形中位线相结合，解决问题；第二问有难度，注意辅助线的构建。