自然数360可以分解为两个自然数x、y的乘积，其中x有m个因数，y有n个因数，已知m+n=13且m＞n．那么，m与n

Question

自然数360可以分解为两个自然数x、y的乘积，其中x有m个因数，y有n个因数，已知m+n=13且m＞n．那么，m与n的差是______．

Answer 1

360=2×2×2×3×3×5=2³×3²×5．
由于m、n都是正整数，且m+n=13，
可见m、n中必有一个是偶数，而另一个是奇数，又具有奇数个因数的数必是完全平方数，
因此x、y中必有一个是完全平方数．
360的因数中，是完全平方数的因数只有：2²、3²、2²×3²．
（1）2²只有3个因数，故y=2×2=4，x=2×3²×5=90，
易知n=3，m=（1+1）×（2+1）×（1+1）=12，3+12=15，不合题意；
（2）3²也只有3个因数，故y=3²=9，x=2³×5=40，
易知n=3，m=（3+1）×（1+1）=8，3+8=11，不合题意
（3）2²×3²有（2+1）×（2+1）=9个因数，故x=2²×3²=36，y=2×5=10，
易知n=（1+1）×（1+1）=4，m=9，9+4=13符合题意．
此时有m-n=9-4=5．
故答案为：5．