数学问题（适合八年级学生）

Question

问题1：对方程a^2b^2+a^2+b^2=2004，求出至少一组整数解问题2：一直在△ABC中，a^2-16b^2-c^2+6ab+10bc=0（a，b，c是三角形三边的长）。求证：a+c=2b问题3：证明恒等式：a^4+b^4+（a+b)^4=2（a^2+ab+b^2）^2问题三：一个自然数a若恰好等于另一个自然数b的平方，则称自然数a为完全平方数，如64=8^2，64就是一个完全平方数，已知a=2001^2+2001^2×2002^2+2002^2，求证：a是一个完全平方数问题四：证明：1999×2000×2001×2003×2004×2005+36是一个完全平方数问题五：按下面规则扩充新数：        已有两数a，b，可按规则c=ab+a+b扩充一个新数，        在a，b，c三个数中任取两数，按规则又可扩充一个新数……每扩充一个新数叫做一次操作        现有数1和4        （1）求按上述规则操作三次得到扩充的最大新数        （2）能否通过上述规则扩充得到新数1999，并说明理由问题六：已知正整数n大于30，且使得4n-1整除2002n，求n的值问题七：已知60/［（x+1）（x-2）（x+3）］=A/（x+1）+B/（x-2）+C/（x+3），其中A,B,C为常数，求A+B+C的值问题八：已知a^2-a-1=0，且（2a^4-3xa^2+2）/（a^3+2xa^2-2）=93/112，求x的值问题九：已知非零实数a，b，c满足a+b+c=0        （1）求证：a^3+b^3+c^3=3abc        （2）求［（a-b）/c+（b-c）/a+(c-a）/b］［（c/（a-b）+a/（b-c）+b/（c-a）的值问题十：设y=（ax+b）/cx+d），a，b，c，d都是有理数，x是无理数，求证：        （1）当bc=ad时，y是有理数        （2）当bc≠ad时，y是无理数问题十一：已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足2a^2/（1+a^2）=b，2b^2/（1+b^2）=c，2c^2/（1+c^2）=a，试求△ABC的面积补充说明：可以不用全部回答

Answer 1

问题1：
a^2b^2+a^2+b^2=2004
=>(a^2+1)(b^2+1)=2005=5*401
=>a^2+1=5,b^2+1=401或a^+1=401,b^+1=5
=>(a,b)的组合可以是以下的任一种：
（2，20），（-2，20），（2，-20），（-2，-20）
（20，2），（-20，2），（-20，-2），（20，-2）
问题2：
a^2-16b^2-c^2+6ab+10bc=0,
a^2+6ab+9b^2-25b^2+10bc-c^2=0
(a+3b)^2-(5b-c)^2=0
(a+3b)^2=(5b-c)^2
a+3b=5b-c
a+c=2b
或a+3b=c-5b
a+8b=c
因为三角形两边之和大于第三边也就是a+b>c
所以a+8b不可能等于c，所以舍去
所以a+c=2b
问题三：设2001=X
所以a=x^2+x^2(x+1)^2+(x+1)^2=x^4+2x^3+3x^2+2x+1=(x^2+x+1)^2
所以a是一个完全平方数

Answer 2

问题1：
a^2b^2+a^2+b^2=2004
=>(a^2+1)(b^2+1)=2005=5*401
=>a^2+1=5,b^2+1=401或a^+1=401,b^+1=5
=>(a,b)的组合可以是以下的任一种：
（2，20），（-2，20），（2，-20），（-2，-20）
（20，2），（-20，2），（-20，-2），（20，-2）
问题2：
a^2-16b^2-c^2+6ab+10bc=0,
a^2+6ab+9b^2-25b^2+10bc-c^2=0
(a+3b)^2-(5b-c)^2=0
(a+3b)^2=(5b-c)^2
a+3b=5b-c
a+c=2b
或a+3b=c-5b
a+8b=c
因为三角形两边之和大于第三边也就是a+b>c
所以a+8b不可能等于c，所以舍去
所以a+c=2b
问题三：设2001=X
所以a=x^2+x^2(x+1)^2+(x+1)^2=x^4+2x^3+3x^2+2x+1=(x^2+x+1)^2
所以a是一个完全平方数

Answer 3

不知道

Answer 4

问题1：a^2b^2+a^2+b^2+1=2004+1=2005=5*401
(a^2+1)(b^2+1)=5*401
a^2+1=5,b^2+1=401或
a^2+1=401,b^2+1=5
∴a=2,b=20
问题4：设a=2002,原式化为：
=(a-3)(a-2)(a-1)(a+1)(a+2)(a+3)+36
=(a^2-1)(a^2-4)(a^2-9)+36
=a^6-(1+4+9)a^4+(4+9+36)a^2-36+36
=a^6-14a^4+49a^2
=a^2(a^4-14a^2+49)
=a^2(a-7)^2
=[a(a-7)]^2
∴是完全平方数
问题6：假设整除的结果为k,因为是两个正整数相除，所以结果k>0
2002n/(4n-1)=k
变形一下，n=1/(4-2002/k)
∵n是整数，且n>30
∴1/(4-2002/k)>30
且(4-2002/k)>0
两个不等式结果为
k<60060/119
k>2002/4
∵在这个范围内，没有一个整数k能把2002整除,∴k不存在，n不存在