(五)估计方差、离差方差、变差函数

Question

如题所述

Answer 1

1.估计方差

任何一种估计方法,采用样品值去估计被估块段的真实值时,都会产生误差。估计方差就是用样品V去估计某一块段V的平均品位时所产生的估计误差。

令 为估计方差,V为任意样品数据(信息),如钻孔岩心探槽取样,块道断面取样的化验值等;V可视为一条矿带,一个矿床,一个矿块等。令 为估计方差,V为任意样品数据(信息),如钻孔岩心探槽取样,块道断面取样的化验值等;V可视为一条矿带,一个矿床,一个矿块等。

γ(h)与γv(h)的关系图

沿钻孔岩心样品的情况

用v来估计V,有两种情况:v可以是V中的一部分,v在V内;v或在V外面,不在V内。不管哪种情形,估计方差

地质统计学(空间信息统计学)基本理论与方法应用

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几点说明

a.设v包含于V之中,用v估计V的估计方差 视为v对V的外延方差(extension variance)记为: (v,V)。

b.无论v及V是怎样的域,例如V=V₁+V₂, (S_i为每i个样品的支撑),估计方差的计算公式均成立。

c.按估计方差的定义,变差函数可看成是用(x+h)估计Z(x)的估计方差之半,因为

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d.估计方差 依赖四个因素:V与v之间的距离;V的几何特点;v的几何特征,以及变差函数的特征。

e.计算估计方差的作用是衡量所利用的样品数据,估计块段的平均品位是否有足够的精确度,从而得到优化的克里格估值,譬如用以判断哪种勘探工程方案最优,从而作出最优的勘探计划。

f.很明显 是γ的线性组合,知道γ的模型后,方差便可求出。

2.离差方差(dispersion variance)

(1)支撑效应(support affect)

设V为一地质体(一个矿床或一某矿带),其中有若干样品为v,离差方差就是研究v在V中的离散程度的。生产实践告诉我们,离散现象存在着两种情况:

设离差方差为D²(v/V):一是当V是一固定体积时,则离差方差D²(v/V)随V的大小而改变,V小则离差方差大,V大则D²(v/V)小,当v大到与V一样大时,D²(v/V)便不存在了。二是若V的大小是固定的,D²(v/V)随V的大小而改变。V小则D²小,V大则D²也大。当V小到与v一样大时,D²也就不存在了。

这两种情况所反映的支撑(承载)对离散强度的影响,在地质统计学中便称为支撑(承载效应)。实际工作中很有用。

如下图。

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(2)离差公式

离差方差的通式D²(v/V)为

D²(v/V)=C(v,v)-C(V,V)

若用变差函数表示则为

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离差方差在储量计算及采矿设计中都很重要,因为可回采矿石的品位并非勘探时的岩心品位,岩心品位频率分布曲线也不同于选择采矿单元品位的频率分布曲线。

研究离差方差可分为两类:一类是研究未经开采的矿体中品位变化的情况;另一类是研究矿床中有多少可回采储量。这些情况都要求知道最小开采单元的平均品位和储量。可见对于最小开采单元的研究是尤其重要的。譬如在进行矿业设计时,只知道岩心样品的品位位置,而不知道最小开采单元的平均品位,设计便无法进行。用岩心样品品位作开采计划,必然会过高过低地估计出矿品位和可采储量,会给矿山带来很大损失。特别是现在,随着矿山生产规模的不断扩大,选用的开采设备大型而先进,矿山确定的最小开采单元也在不断变大,因此还停留在用岩心样品位来确定矿山生产矿石的品位和储量,相差就会很大。从地质统计学的理论上讲,也完全违背了地质统计学的区域化变量理论,以岩石样品所作的变差函数与以最小开采单元为支撑所作的变差函数是完全不同的。如下图:

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实际上,利用岩心样品来计算矿山储量和品位的教训是不少的。据了解,美国的双峰铜矿和南非的一个铀矿,就是因利用岩石样品来计算储量和确定品位,受到了严重损失。

3.变差函数与变差图

变差函数是地质统计学的基本工具,地质统计学中所有计算都以它为基础。区域化变量理论是通过变差函数及其变差图来描绘、实现的。所以地质统计学的创造人马特隆教授的学生,著名的地质统计学家Journel教授在讲到变差函数时,再三强调变差函数在地质统计学中的重要作用。用十分关键和十分重要两个“十分”来突出它的重要性。这是需要我们认真认识的。

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如果γ(x+h)与x取值无关,只依赖于h(基本步长或基本滞后),则可以把γ(x+h)写作γ(h)。

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γ(h)称作变差函数,即是矢量h的一个函数。当h这个矢量在三维空间时,则γ(h)在三维空间进行计算,并作出三维空间的变差函数模型;若h在二维平面,则只需作二维的变差函数模型即可。

如果以h为横坐标,γ(h)为纵坐标作出的图形,则称作变差图(或称变差函数曲线),显然γ(h)是区域化变量的函数表达式,变差图是γ(h)函数的图形表达。

变差图是迄今为止描述矿床变化性的最理想的数学工具,变差函数正是通过作出符合实际的变差图来描述区域化变量的空间规律性和随机性的。因此,变差图反映矿床变化性的程度好坏,是至关重要的,它关系到对矿床变化性的正确描述和矿山生产的储量和品位的正确估计。可以不夸张地说,成功与失败系于变差图的制作上。

作变差图(或称绘制变差函数曲线)分两个步骤进行:首先制作实验变差图(实验变差函数曲线),然后根据实验变差图用一种合适的理论变差函数来拟合它,使其成为理论变差图(或称理论模型)。

实验变差函数就是根据有限的实测数据构制的变差函数,为区别于理论变差函数,通常以γ^*(h)表达。

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显然γ^*(h)是[Z(x_i)-Z(xi+h)]²的算术平均值。实验变差函数γ^*(h)是理论变差函数γ(h)的估计值。对不同的滞后距(h),按照公式γ^*(h)可计算出相应的γ^*(h)值来。得出诸对h,γ^*(h)值,然后以h为横坐标,γ^*(h)值为纵坐标的直角坐标上标出诸点[h,γ^*(h)]来,将各点用直线段连接起来,便得到实验变差图(或实验变差曲线)。

这里要着重指出:变差函数、估计方差、离差方差3个计算公式的重要性。

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因为对这3个公式的正确理解和应用,关系到对地质统计学的正确理解和应用。