几何初一数学题

Question

等腰直角三角形ABC中P为斜边上中点,D为AB上任意一点,DE⊥ACDF⊥BC,证PE=PF,PE⊥PF
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Answer 1

经与楼主确认，斜边为AB
证明：连结CP
在等腰直角三角形ABC中，点P为斜边AB的中点，那么：
CP=AP且CP⊥AB
又DE⊥AC，DF⊥BC，所以易知：
四边形CFDE是矩形 （三个内角为90°的四边形是矩形）
那么：DE=CF
而在Rt△ADE中，∠EAD=45°，那么：Rt△ADE是等腰三角形
所以：AE=DE=CF
又∠EAP=∠FCP=45°，AP=CP
所以：△EAP ≌ △FCP （SAS）
那么：PE=PF
且∠EPA=∠FPC
所以：∠EPF=∠FPC+∠CPE=∠EPA+∠CPE=∠CPA=90°
即证得：PE⊥PF

Answer 2

设等腰直角三角形的直角边长为a，则AB=√2a，AP=BP=√2a/2；AE=ka，则BF=(1-k)a
EF^2=k^2a^2+(1-k)^2a^2=2k^2a-2ka^2+a^2
PE^2=AP^2+AE^2-2AP*AEcos45°=a^2/2+k^2a^2-ka^2=a^2/2+ka^2(k-1)
PF^2=BP^2+BF^2-2BP*BFcos45°=a^2/2+(1-k)^2a^2-(1-k)a^2=a^2/2+(1-k)a^2[(1-k)-1]=a^2/2+ka^2(k-1)=PE^2,所以PE=PF
PE^2+PF^2=2(a^2/2+k^2a^2-ka^2)=a^2+2k^2a-2ka^2=EF^2,所以PE⊥PF

Answer 3

四角都是90° 所以CFDE是矩形 多以DE=CF CE=DF 连接CP 又因ABC是等腰直角三角形
所以 AP=BP=CP A=角PCB=45°
所以 PC=PA A=角PCB=45° AE=（CA-CE）=（CA-DF）=(BC-BF)=CF
所以 三角形PAE全等于三角形PCF 所以PE=PF 角APE=角CPF角
所以 角EPF=角EPC+角CPF=角EPC+角APE=90°
所以 PE⊥PF

Answer 4

连接PC
那么三角形APC是等于直角三角形
所以AP=CP
角A=角BCP=45°
AE=DE=CF
三角形AEP全等于三角形CFP
所以PE=PF
因为PC垂直AB
角APE+角CPE=90°
又因为角APE=角CPF
所以角CPF+角CPE=90°

所以PE⊥PF

Answer 5

因为ABC为等腰直角三角形，P为斜边中点,则CP⊥AB,且CP=AP=BP.因为DE⊥AC,DF⊥BC，C为直角，则四边形CFDE为矩形，DE=DF.因为∠A为45°，DE=AE,则AE=CF,又因为∠A=∠PCB=45°，则△PAE全等于△PCF,则PE=PF,且∠APE=∠CPF,因为∠APC=90°，所以∠EPF=90°，即PE⊥PF.(这个为文字说明，稍加修改写成数学符号表达即可。大概思路是这样的。)