解虚数根方程x^5=1

Question

求x^5=1的全部虚数根

Answer 1

1=cos0+isin0，设Z=|Z(|cosx+isinx)且Z^5=1=cos0+isin0
所以Z^5=|Z|^5(cosx+isinx)^5=|Z|^5(cos5x+isin5x)=cos0+isin0
所以|Z|=1 5x=0+2kπ
所以Z=cos2kπ/5+i*sin2kπ/5 k=0,1,2,3,4
这里说明一下为什么k=0,1,2,3,4 ？可以发现k=5和k=1是一样的，所以k=0,1,2,3,4
与偶兴趣的话可以做一下图，你会发现复数Z开n次方会有n个根，而且这n个根刚好在以|Z|^1/n为半径的圆内接正n边行的n个顶点

Answer 2

x=cos2kπ/5+i*sin2kπ/5
k=0,1,2,3,4本回答被提问者采纳

Answer 3

由x^5-1=0
(x-1)(x^4+x³+x²+x+1）=0
（x-1)[（x²+Ax+1）（x²+BX+1）=0
A=（1+√5）/2，B=（1-√5）/2.
x1=1
x2,3=（-1-√5）±√（10-2√5）i/4
x4,5=（-1+√5）±√（10+2√5）i/4

Answer 4

MATLAB中运算：程序如下
roots([1 0 0 0 0 -1])

结果
-0.8090 + 0.5878i
-0.8090 - 0.5878i
0.3090 + 0.9511i
0.3090 - 0.9511i
1.0000

Answer 5

(1)1
(2)1/4*5^(1/2)-1/4+1/4*i*2^(1/2)*(5+5^(1/2))^(1/2)
(3) -1/4*5^(1/2)-1/4+1/4*i*2^(1/2)*(5-5^(1/2))^(1/2)
(4) -1/4*5^(1/2)-1/4-1/4*i*2^(1/2)*(5-5^(1/2))^(1/2)
(5)1/4*5^(1/2)-1/4-1/4*i*2^(1/2)*(5+5^(1/2))^(1/2)