若f(x)在[a,b]上连续,a<c<d<b且k=f(c)+f(d).证明:

Question

1、存在一个ξ∈（a,b），使k=2f(ξ)
2、存在一个ξ∈（a,b），使mf(c)+nf(d)=(m+n)f(ξ)，其中m,n为正数

Answer 1

1. 设闭区间[a,b]上连续函数f(x)的最大值为fM, 最小值为fm. 由 a<c<d<b 知：
fm<f(c)<fM (1)
fm<f(d)<fM (2)
(1)+(2) 后再除2 fm<(f(c)+f(d))/2<fM
根据闭区间上连续函数的介值性定理，必存在ξ∈（a,b） 使得
f(ξ)=(f(c)+f(d))/2 即 f(c)+f(d)=2f(ξ)

2. (1)式两边乘m (m>0) 有 m fm < m f(c) < m fM (3)
(2)式两边乘n (n>0) 有 n fm < n f(d) < n fM (4)
(3)+(4) 后再除(m+n) fm<(mf(c)+nf(d))/(m+n)<fM
根据闭区间上连续函数的介值性定理，必存在ξ∈（a,b） 使得
f(ξ)=(mf(c)+nf(d))/(m+n) 即 mf(c)+nf(d)=(m+n)f(ξ)

证毕.