高一数学对数函数问题

Question

如题所述

Answer 1

追问

请问这一步是怎么推导出来的？？

追答

展开
然后两边同除以y^2

Answer 2

解：
（1）由题意知“ax^2 + 2x + 1＞0 在 x∈R 上恒成立”，故
a＞0 且判别式 △＝4-4a＜0, 解得 a＞1；即 a
的取值范围是 a＞1。

当 a＞1 时，函数 y＝ax^2 + 2x + 1 的最小值为
-(b^2 -
4ac)/(4a)＝-(4-4a)/(4a)＝(a-1)/a＝1- 1/a(当 x＝-1/a 时),
所以 函数f(x)＝lg(ax^2 + 2x +
1) 的值域为 [lg(a-1)-lga ，+∞）。

（2）要使“函数f(x)的值域为 R”，那么二次函数 y＝ax^2 + 2x + 1
的值域应该包含（0，+∞），也就是说，“必须 a＞0 且 方程 ax^2 + 2x + 1＝0 有根”，所以 a＞0 且判别式 △＝4-4a≥0, 解得
0＜a≤1；
不难知道，若 a＝0，一次函数 y＝2x + 1 的值域为(-∞,+∞)包含(0，+∞），
所以 a＝0 也符合题意！

因此实数 a 的取值范围应该是 0≤a≤1。

若 a＝0 ，解不等式 2x + 1＞0，得此时 函数f(x)的定义域为 x＞-1/2；

若 0＜a＜1 ，解二次不等式 ax^2 + 2x + 1＞0，可得此时函数f(x)的定义域为
x＜[-1-根号(1-a)]/a 或
x＞[-1+根号(1-a)]/a；
若 a＝1，由不等式 x^2 + 2x + 1＞0 可得函数f(x)的定义域为 x≠-1。