数论问题

Question

求人详细证明代数数（由两个代数数加减乘除所得结果还是代数数）是个数域

Answer 1

代数数域为有理多项式的根构成，假设你不太熟抽象代数啊，下面是初等解法
1）如果F(a)=0，记G(x)=F(-x)，则G也是多项式，G(-a)=0。所以代数数的相反数还是代数数。
2）如果F(a)=0，a非零，deg(F)=n，记G(x)=F(1/x)x^n。则G仍是多项式，G(1/a)=0。所以代数数的倒数仍是代数数
3）如果a，b是两个代数数，F(a)=0，G(b)=0，记Z为所有2元有理多项式H的全体。记Z(a,b)为几何{H(a,b):H属于Z}。那么，Z(a,b)是有理数域上的向量空间。且维数不超过deg(F)×deg(G)（可由a^jb^k张成，且j<deg (F),k<deg(G)）。所以，1，(a+b)，...，(a+b)^{deg(F)×deg(G)}必有理线性相关，也就是说存在有理系数多项式使得a+b是根。所以a+b也是代数数。同理可证ab也是代数数。

Answer 2

这个直接在多项式环里证明就好了，很简答哪