第1个回答 2022-08-17
想了下应该是必然有旋度.
如果证明的话,可以用反证法,假设一个没有旋度,可以证出来它一定是保守场（保守场的定义是能写成一个标量函数梯度的场）.总之思路还是和积分路径有关.下面的矢量都用下划线_表示,比如矢量函数f用f_表示.
具体大概可以这样说：假设一个矢量场f_无旋度,那么rot(f_)=0对某个面s积分一下
∫∫[s] rot(f_)·ds_=0
但是同时又有斯托克斯公式∫∫[s] rot(f_)·ds_=∫[L] f_·dl_（就是对于s的边界L做一圈第二类曲线积分）
s是任意面,因此对于任意的L线,都有∫[L] f_·dl_=0,也就是f_积分与路径无关（对于任何环路积分为0,等价于积分只与起点终点有关与路径无关）,我们就可以定义一个标量函数φ=∫[A0到任一点A] f_·dl_,很容易证明f_=-gradφ.
所以只要给一个无旋度的矢量场,都可以找到一个势φ与其对应,所以任何无旋场都是保守场,非保守场只能有旋度.