y=|1/x|函数图像绕y轴旋转后形成的空间在a到b区间的体积如何计算？

Question

如题所述

Answer 1

题目表述不明确。应是以下三种情况之一。

(1) 是曲边梯形 PQBA 绕 y 轴旋转体积;  (2) 是曲边梯形 PQDC 绕 y 轴旋转体积; (3) 是曲边三角形 PQS 绕 y 轴旋转体积。

若是情况（1）， 则为：

当  a < b  ≤ 0 时 ， V1 = ∫<-b, -a> 2πx(1/x)dx = 2π(b-a)

解法原理如下，又称“柱壳法”：

若是情况（2）， 则为：

V2 = π∫<-1/a, -1/b>x^2dy = π∫<-1/a, -1/b>dy/y^2

= π[-1/y]<-1/a, -1/b> = π(b-a)

若是情况（3），用“柱壳法” 则为：

V3 = ∫<-b, -a> 2πx(1/x+1/a)dx = π∫<-b, -a> (2+2x/a)dx

= π[2x+x^2/a]<-b, -a> = π(2b-a-b^2/a);

用“对 y 积分”法 则为：

V3 = π∫<-1/a, -1/b>x^2dy - πb^2( -1/b+1/a)

= π(b-a) + π(b-b^2/a) = π(2b-a-b^2/a)

Answer 2

理论上这需要你计算出这个旋转体被x=a和x=b切割下来的体在x,z轴的投影趋于，然后用二重积分来计算。但是这样复制的二重积分恐怕不一定能求出来

Answer 3

图中a, b 的位置已经给定，所以无需讨论。上面给出了用 shell method （与旋转轴垂直的方向积分）的做法，这里我试着用 disk method （与旋转轴平等的方向积分） 做一下：
volume = ∫[-1/a, -1/b] π x^2 dy

= ∫[-1/a, -1/b] π/y^2 dy
= -π/y|[-1/a, -1/b]
= π(b-a)