绕x轴旋转得到的旋转体体积为 0.5π^2,绕y轴旋转得到的旋转体体积为 2π^2。
1、绕x轴旋转时,微体积 dV = πy^2dx,或者:dV = π(sinx)^2dx,将dV在0到π之间对x做定积分。
得到:V = ∫π(sinx)^2dx (在0到π区间积分) = ∫π(1-cos2x)/2dx (在0到π区间积分) = 0.5π^2。即,给定函数,绕x轴旋转得到的旋转体体积为 0.5π^2。
2、绕y轴旋转时,微体积 dV = π(2x)ydx,或者:dV = 2πxsinxdx,将dV在0到π之间对x做定积分。
得到:V = ∫ 2πxsinxdx(在0到π区间积分) =2π ∫xsinxdx (在0到π区间积分) = 2π^2。即,给定函数,绕y轴旋转得到的旋转体体积为 2π^2。
一般定理
定理1:设f(x)在区间[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上可积。
定理2:设f(x)区间[a,b]上有界,且只有有限个间断点,则f(x)在[a,b]上可积。
定理3:设f(x)在区间[a,b]上单调,则f(x)在[a,b]上可积。