设随机向量(X,Y)在区域D={(x,y):0<x<1,0<y<x}上服从二维均匀分布,求随机变量Z=XY的期望与方差.

Question

急

Answer 1

设:区域D={0<x<1, 0<y<x}
显然D为边长为1的等腰直角三角形，其面积S=0.5
随机向量(X,Y)服从D上的二维均匀分布，而随机变量Z=XY

E(Z)=在D上(xy/S)即2xy的二重积分
=2 ∫ [下限0, 上限1] x dx * ∫[下限0, 上限x] ydy
显然
∫[下限0, 上限x] ydy
=(0.5y²) [代入上下限x和0]
=0.5x²/2

所以Z的期望
E(Z)=2 ∫ [下限0, 上限1] x dx * ∫[下限0, 上限x] ydy
=2 ∫ [下限0, 上限1] 0.5x^3 dx
= (x^4)/4 [代入上下限1和0]
= 1/4
而
E(Z²)=在D上(xy)²/S即2x²y²的二重积分
=2 ∫ [下限0, 上限1] x² dx * ∫[下限0, 上限x] y²dy
显然
∫[下限0, 上限x] y²dy
= (y^3) /3 [代入上下限x和0]
= (x^3) /3
所以
E(Z²)=2 ∫ [下限0, 上限1] x² dx * ∫[下限0, 上限x] y²dy
=2 ∫ [下限0, 上限1] (x^5)/3 dx
= (x^6) /9 [代入上下限1和0]
=1/9
故Z的方差
D(Z)=E(Z²)- [E(Z)]²=1/9- 1/4²=1/9 -1/16 = 7/144

Answer 2

做该题的基本方法是按概念进行。 随机向量(X，Y)的分布区间是第一象限的等腰直角三角形，由x轴、直线x=1、直线y=x围成，面积为1/2，所以(X，Y)的概率密度为:f(x，y)=1/(1/2)=2。第二步求随机变量Z=XY分布函数，Z=XY为双曲线函数，它将(X，Y)的分布区间分割为两部分，它和直线y=x的交点的x坐标为√z。设Z的分布函数为F(Z)，则F(Z)=P｛Z≦z｝=∫(0→√z)[∫(0→x)f(x，y)dy]dx+∫(√z→1)[∫(0→z/x)f(x，y)dy]dx=z(1-lnz)，所以Z的概率密度为fz(z)=dF(z)/dz=ln(1/z)，所以，E(Z)=E(XY)=∫(0→1)zfz(z)dz=1/4；E(Z^2)=∫(0→1)(z^2)fz(z)dz=1/9；D(Z)=E(Z^2)-[E(Z)]^2=7/144(毕)。