设数列an满足a1+2a2+3a3+.....+nan=2^n(n属于N*）求数列an的通项公式 设bn=n^2an,求数列bn的前n项和Sn

Question

设数列an满足a1+2a2+3a3+.....+nan=2^n(n属于N*）求数列an的通项公式
设bn=n^2an,求数列bn的前n项和Sn

Answer 1

1、
a1+2a2+3a3+.....+nan=2^n (1)
a1+2a2+3a3+.....+(n-1) a(n-1)=2 ^(n-1) (2)
(1)-(2)
nan=2^n-2 ^(n-1),
nan=2 ^(n-1),
{an}的通项公式为an= 2 ^(n-1)/n.
2、
bn=n^2an=n* 2 ^(n-1).
Sn=b1+b2+...+bn
Sn=1+2*2+3*2^2+……+ n* 2 ^(n-1),
所以2Sn =1*2+2*2^2+……+ (n-1)* 2 ^(n-1) +n* 2 ^n,
以上两式相减得：
- Sn=1+2+2^2+2^3+……+2^(n-1) -n* 2 ^n,
- Sn=1*(1-2^n)/(1-2) -n* 2 ^n,
- Sn=2^n-1-n* 2 ^n,
- Sn=(1-n)*2^n-1
Sn=( n -1)*2^n+1.来自：求助得到的回答

Answer 2

由a1+2a2+3a3+.....+nan+(n+1)a(n+1)=2^(n+1)得(n+1)a(n+1)=2^(n+1)-2^n=2^n
所以an=2^(n-1)/n
bn=2^n 得 Sn=n(n+1)

Answer 3

an=[2^n-2^(n-1)]/n
第二问如果指的是
bn=(n^2)an的话 那么Sn=2^n