一道双曲线轨迹方程题

Question

双曲线实轴平行x轴，离心率e=3/2，它的左分支经过圆x^2+y^2+4x-10y+20=0的圆心M，双曲线左焦点在此圆上，求双曲线右顶点的轨迹方程。

Answer 1

作参考函数图象如下：

圆M方程 (x+2)^2+(y-5)^2=9；

设双曲线右顶点某一时刻的坐标为(X,Y)，则左顶点坐标可表示为(X-2a,Y)， 其中a为实半轴；由离心率e=3/2知半焦距c=a*e=3a/2，左焦点F的坐标是(X-a-c,Y)，即(X-5a/2,Y)按题条件它位于圆M上；

F满足M的方程：(X-5a/2+2)^2+(Y-5)^2=9；……①

 

双曲线半虚轴b=√(c^2-a^2)=√5*a/2；其中心在(X-a,Y)，方程可表示为：

(x-X+a)^2/(a^2)-(y-Y)^2/(√5a/2)^2=1；

它经过圆M的中心(-2,5)，故有：(-2-X+a)^2/a^2-(5-Y)^2/(5a^2/4)=1；

由上式求得a*(5/2)=5(X+2)/4-(5-Y)^2/(X+2)，代入①式即得双曲线右顶点规迹方程：

[X-5(X+2)/4+(5-Y)^2/(X+2)+2]^2+(Y-5)^2=9；

[-(X+2)/4+(Y-5)^2/(X+2)]^2+(y-5)^2=9 ；

再次化简得：[(X+2)^2/4+(Y-5)^2]=±3(X+2)；

 

可以看出，上式代表两个椭圆方程(X+2±6)^2/4+(Y-5)^2=9，其中心坐标分别是(-8,5)和(2,5)；中心在(-8,5)的规迹方程实为当双曲线右支通过圆M的增根，应舍去。最后得到的规迹方程为：

(X-2)^2/(6)^2+(y-5)^2/3^2=1；

该椭圆长半轴a=6，短半轴b=3，中心(2,5)；