怎样学习抽象代数

Question

如题所述

Answer 1

初学者应该如何学习抽象代数

曾经看到一些抽象代数（近世代数）的初学者有这样的疑问：我们为什么要研究像群这样的抽象结构呢？有人解释说这是刻画对称性，也有人解释说是现代数学的一种语言，有点道理却又语焉不详。
为什么要研究群呢？提出这类问题的人困惑的并不是群的本质，而是需要一个合理的过渡，我觉得从具体的代数到抽象代数之间的过渡可以类比于从算术到普通代数的过渡。记得我第一次遇到代数时感到很奇怪，为什么一眼就能看出答案的问题，非要设个未知量x来解方程。直到后来发现几个x可以抵消，我才算领会了方程的方便，再后来遇到二次的情形就非要列方程不可了。如果说方程中字母x代表某个数的话，那么群中的字母g又代表什么呢？它不仅代表处在某个地位上的数，更是代表一个特殊的位置，这样的位置是与整个群的结构相互联系的。比如在三阶循环群中，两个生成元尽管作为数是不同的，但它们在群的地位却是一致的。正如普通代数中忽略了数的已知与未知那样，抽象代数中忽略的则是具体数的差异，而集中考虑相应的位置与结构。
有的人总是想借助直观来理解抽象，但这对抽象代数的入门却是一个妨碍。还有回忆学习普通代数的情形，如果在学习普通代数的时候固执于用数值检验未知数x，并不能让你真正领会x的精神，只有直接用x来进行运算，才能在此基础上领会高级的直观。抽象代数的学习也需要领会相应的高级直观，这里的直观重在代数的结构，因此初学者就应该特别注意那些关于结构的定理。第一个结构定理大概就是同态基本定理，由此可以更加深刻的理解商群。此后，一个非常自然的结构定理就是有限Abel结构定理，如果你能够依据此定理确定任意Abel群的结构，那么可以说你基本上已经算是入门了。此后，就可以考虑对付非Abel群的武器，最初级的武器是共轭类，由此衍生出正规子群的概念，而更加深刻的武器则是Sylow定理。仅仅作为入门的话，能理解Sylow定理也应该算是足够了。
群的上面还有环、域、模等代数结构，这里只是简单提一下它们之间的关系。如果说群是青少年的话（半群就是儿童了）；那么环与域就是中年人，除了加法之外还增加了一个乘法；而模与向量空间则是老年人，它把环或域作为系数，自身还保留有类似群的加法。这里我要提醒一下，Abel群其实有着双重身份，它作为群的同时又是一个整数环Z上的模，不妨就管他叫老顽童吧。如果像群变环那样，在模上面再引入一个乘法会怎么样呢？也不知为什么，得到的东西就干脆的称为代数。
其实，只要能把注意把握结构，抽象代数的入门应该不是太困难，我甚至提议数学专业课是不是可以一开始就群论讲起，这可以促使学生尽早完成代数思维的转变。只要走过了这道门槛，后面还有更加丰富多彩的内容等着你们呢！
初学者最好先别考虑非交换环，其中有很多诡异的东西，请看博文：除环上多项式的根很有趣啊.

Answer 2

上个学期看了一整个学期的抽象代数,差不多看了群论,环论,一点域论和Galois理论.然后又杂七杂八的了解到一点点同调论和范畴论.