法一：证明：
∑1/n
=1+1/2+1/3+??+1/n+??
=1+1/2+（1/3+1/4）+（1/5+1/6+1/7+1/8）+（1/9+1/10+??+1/16）+（1/17+1/18+??+1/32）+1/33+??+1/n??
>1+1/2+2*1/4+4*1/8+8*1/16+16*1/32+??+??=1+m/2+??。
m是1/2的个数随着n的增加而增大。当n→∞时，m→∞。∴1+m/2+??发散，故∑1/n发散。
另外，在级数敛散性判断中，un→0只是必要条件非充分条件，“无穷多个无穷小”累积在一起，便“量变到质变”。
法二：如图，用到了比较审敛法。
扩展资料：
调和级数是发散的，有三种方法证明。
1、比较审敛法：
2、积分判别法：
3、反证法：
4、相关思考：
当n越来越大时，调和级数的项变得越来越小，然而，慢慢地——非常慢慢地——它的和将增大并超过任何一个有限值。调和级数的这种特性使一代又一代的数学家困惑并为之着迷。下面的数字将有助于我们更好地理解这个级数。这个级数的前1000项相加约为7.485；
前100万项相加约为14.357；前10亿项相加约为21；前一万亿项相加约为28，等等。更有学者估计过，为了使调和级数的和等于100，必须把10的43次方项加起来。
调和级数是发散的，这是一个令人困惑的事情，事实上调和级数令人不耐烦地慢慢向无穷大靠近，我们可以很容易的看到这个事实，因为S2n-Sn>1/2,而调和级数的第一项是1，也就是说调和级数的和要想达到51那么它需要有2的100次方那个多项才可以。
而2的100次方这个项是一个大到我们能够处理范围以外的数字，在计算机元科学领域，这属于一个不可解的数。
参考资料来源：百度百科-调和级数
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