线性代数 矩阵乘法问题

Question

AC=CB 求A^3
解: A=CBC^-1
答案: A^3= CB^3C^-1
请问这里答案运用矩阵乘法的那种性质，初学自学基础差，请大佬详解谢谢！

Answer 1

首先，这么做的前提是C是可逆矩阵。
这里巧妙作用了矩阵运算的如下三个性质：
①矩阵乘法满足结合律：A(BC)＝(AB)C.
②对可逆矩阵C，都有CC^(-1)＝C^(-1)C＝E.
③对任意矩阵P，都有PE＝EP＝P.
原题由A＝CBC^(-1)，有
A^3＝[CBC(-1)][CBC^(-1)][CBC^(-1)]
＝CB[C^(-1)C)]B[C^(-1)C]B[C^(-1)C]BC^(-1)
＝C(BBB)C^(-1)
＝CB^3C^(-1).

Answer 2

你说反了，是 14 错，15 对。
14、如 A＝(1，0；1，0)，则 A²＝A，
但 A 既不是 0 矩阵，也不是单位矩阵。
15、设 A＝(aij)，其中 aij＝aji，
考察 A² 的第 1 行、第 1 列的元素，它是
a11*a11＋a12*a21＋...＋a1n*an1＝0，
由于 A 对称，因此上式即为
a11²＋a12²＋......＋a1n²＝0，
由于 A 的元素均为实数，
所以 a11＝a12＝...＝a1n＝0，
同理考察 A² 对角线其它元素，可得 A 各行元素为 0，所以 A＝0。

Answer 3

就直接乘起来不就得到这个了么？
A^3 = CBC^-1CBC^-1CBC^-1
然后中间的C^1 C=单位阵去掉就是CB^3C^-1追问

求教大佬，就是这里，逆矩阵为啥不能3次幂……

追答

为什么三次幂？乘下来明明只有1次啊？

追问

谢谢大佬，刚刚只是没看明白，后来看明白了😂

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