4.已知数列 a1=1/7, an+1=2an/(6an+1)求数列an的通项公式

Question

如题所述

Answer 1

求通项公式的方法：
1，对每个数列项an进行简化：
an = 2an-1 / (6an-1 + 1)
2，使用数学归纳法将简化的式子写成通项公式的形式：
an = (2^n * a1) / (6^n * (a1) + (2^(n-1) + 2^(n-2) + ... + 2^0))
3，将a1代入通项公式：
an = (2^n * 1/7) / (6^n * (1/7) + (2^(n-1) + 2^(n-2) + ... + 2^0))
得到通项公式为：
an = (2^n * 1/7) / (6^n * (1/7) + (2^n - 1))
注：第3步可能需要使用数学归纳法进一步证明。

Answer 2

a(n+1)=2an/(6an+1)

两边倒数

1/a(n+1)=(6an+1)/(2an)

=3 + 1/(2an)

1/a(n+1) + 3 = 2( 1/an + 3)

=> { 1/an + 3} 是等比数列，q=2

1/an + 3 = 2^(n-1).( 1/a1 + 3)

=5.2^n

1/an = -3 +5.2^n

an = 1/(-3 +5.2^n)

数列an的通项公式 

an=1/(-3 +5.2^n)