什么是多项式和单项式

Question

如题所述

Answer 1

1．单项式的概念
代数式3a,-mn,x2,-abx,4x3它们都是用数字与字母的积,这样的代数式叫做单项式,单独的一个数或一个字母也是单项式.
单项式中的数字因数叫做单项式的系数.
一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.例如：
3a 是3与字母a的积,字母a的指数是1,所以单项式3a的系数是3,次数是1.
-mn可以看作是-1·mn,是-1与mn的积,所以单项式-mn的系数是-1,次数是2.
单项式x2的系数是1,次数是2,这里的系数1通常是省略不写的.
单项式-2abx的系数是-2,次数等于三个字母指数的和,即1+1+1=3.注意此单项式的系数是负数,要注意单项式的系数,包括它前面的符号,不要漏掉.
根据单项式的定义知道,在单项式中只含有乘法（包括乘方）和数字作除数的除法运算.所以像 m2n、- 这样的代数式都是单项式.其中单项式- 可以看成是数- 与ab的积,它的系数是- ,次数是2.
分母中含有字母的代数式,一般情况都不是单项式.如 ,它们不能看成是数字因数与字母的积.
2．多项式的概念
几个单项式的和叫做多项式.如代数式：2a+b,x2-3x+2,m3-3n3-2m+2n都是多项式.其中x2-3x+2可以看成单项式x2,-3x,2的和,m3-3n3-2m+2n可以看成是m3,-3n3,-2m,2n的和.
在多项式中,每个单项式叫做多项式的项.其中不含字母的项叫做常数项.在确定多项式的项时,要特别注意项的符号.如
多项式x2-3x+2共有三项,分别是x2,-3x,2.其中第二项是“-3x”,而不能说成是“3x”,2是常数项.
多项式里,次数最高项的次数,就是这个多项式的次数.例如：2a+b是一次二项式；x2-3x+2是二次三项式；m3-3n3-2m+2n是三次四项式.
单项式和多项式统称整式.其中单项式只允许含有乘法以及以数字为除数的除法运算；多项式中必须含有加法或减法运算,但不能有以字母为除式的除法运算.
由此可见,单项式中不含加或减法运算,而多项式必须含有加或减法运算,这是二者的最明显区别

Answer 2

不含加减号的代数式（数与字母的积的代数式），一个单独的数或字母也叫单项式。
若干个单项式的和组成的式子叫做多项式（减法中有：减一个数等于加上它的相反数）。
单项式和多项式统称为整式。

Answer 3

单项式，多项式 是对整式而言， 分式谈不上是单项式，还是多项式。
常数（可以是分数）与字母的乘积（可含正整数次方）称为单项式，
多个单项式的代数和称为多项式。

Answer 4

在数学中，由若干个单项式相加组成的代数式叫做多项式（若有减法：减一个数等于加上它的相反数）。多项式中的每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高项次数，就是这个多项式的次数。其中多项式中不含字母的项叫做常数项。

Answer 5

多项式 polynomial
若干个单项式的和组成的式叫做多项式（减法中有：减一个数等于加上它的相反数）。多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数。不含字母的项叫做常数项。如一式中：最高项的次数为5，此式有3个单项式组成，则称其为：五次三项式。
比较广义的定义，1个或0个单项式的和也算多项式。按这个定义，多项式就是整式。实际上，还没有一个只对狭义多项式起作用，对单项式不起的定理：0作为多项式时，次数为负无穷大。
编辑本段多项式历史
多项式的研究，源于“代数方程求解”， 是最古老数学问题之一。有些代数方程，如x+1=0，在负数被接受前，被认为是无解的。另一些多项式，如f(x)=x² + 1，是没有任何根的——严格来说，是没有任何实数根。若我们容许复数，则实数多项式或复数多项式都是有根的，这就是代数基本定理。
能否用根式求解的方法，表达出多项式的根，曾经是文艺复兴后欧洲数学主要课题。一元二次多项式的根相对容易。三次多项式的根需要引入复数来表示，即使是实数多项式的实数根。四次多项式的情况也是如此。经过多年，数学家仍找不到用根式求解五次多项式的一般方法，终于在1824年阿贝尔证明了这种一般的解法不存在，震撼数坛。数年后，伽罗华引入了群的概念，证明不存在用根式求解五次或以上的多项式的一般方法，其理论被引申为伽罗瓦理论。伽罗瓦理论也证明了古希腊难题三等分角不可能。另一个难题化圆为方的不可能证明，亦与多项式有关，证明的中心是圆周率乃一个超越数，即它不是有理数多项式的根。
编辑本段多项式函数及多项式的根
给出多项式 f∈R[x1,...,xn] 以及一个 R-代数 A。对 (a1...an)∈An，我们把 f 中的 xj 都换成 aj，得出一个 A 中的元素，记作 f(a1...an)。如此， f 可看作一个由 An 到 A 的函数。
若然 f(a1...an)=0，则 (a1...an) 称作 f 的根或零点。
例如 f=x2+1。若然考虑 x 是实数、复数、或矩阵，则 f 会无根、有两个根、及有无限个根！
例如 f=x-y。若然考虑 x 是实数或复数，则 f 的零点集是所有 (x,x) 的集合，是一个代数曲线。事实上所有代数曲线由此而来。
编辑本段代数基本定理
代数基本定理是指所有一元 n 次（复数）多项式都有 n 个（复数）根。
编辑本段多项式的几何特性
多项式是简单的连续函数，它是平滑的，它的微分也必定是多项式。
泰勒多项式的精神便在于以多项式逼近一个平滑函数，此外闭区间上的连续函数都可以写成多项式的均匀极限。
编辑本段任意环上的多项式
多项式可以推广到系数在任意一个环的情形，请参阅条目多项式环。