反正切函数的积分怎么求？

Question

如题所述

Answer 1

要计算反正切函数（arctan）的积分，我们可以使用分部积分或替换的方法。以下是两种常见的方法：
方法一：使用分部积分
考虑以下积分：
∫ arctan(x) dx
我们可以将 arctan(x) 拆解成两个函数的乘积，然后使用分部积分法求解。根据分部积分公式：
∫ u dv = uv - ∫ v du
我们选择 u = arctan(x) 和 dv = dx，然后求出 du 和 v：
du = (1 / (1 + x^2)) dx
v = x
将上述值代入分部积分公式，我们可以得到：
∫ arctan(x) dx = x * arctan(x) - ∫ x / (1 + x^2) dx
右侧的积分可以使用简单的替换法来解决，让 u = 1 + x^2，然后求出 du 和 dx 的关系：
du = 2x dx
dx = du / (2x)
将上述值代入右侧的积分，我们有：
∫ x / (1 + x^2) dx = ∫ (1/u) * (du / (2x)) = 1/2 ∫ du / u = 1/2 ln|u| + C
将 u = 1 + x^2 回代，我们得到：
1/2 ln|1 + x^2| + C
因此，arctan(x) 的积分是：x * arctan(x) - 1/2 ln|1 + x^2| + C（其中 C 是常数）。
方法二：使用替换法
我们可以进行一个简单的替换，让 u = arctan(x)，然后求出 du 和 dx 的关系：
du = 1 / (1 + x^2) dx
dx = (1 + x^2) du
将上述值代入原积分，我们得到：
∫ arctan(x) dx = ∫ u * (1 + x^2) du = ∫ (u + u * x^2) du
对右侧的积分进行求解，我们可以得到：
∫ (u + u * x^2) du = (u^2/2) + (u * x^2/3) + C
将 u = arctan(x) 回代，我们得到：
(arctan(x)^2/2) + (arctan(x) * x^2/3) + C
因此，arctan(x) 的积分是：(arctan(x)^2/2) + (arctan(x) * x^2/3) + C（其中 C 是常数）。
这就是计算 arctan 函数积分的两种方法。请注意，这里给出的结果是一般情况下的积分解，但在具体问题中可能有特殊要求，因此仍然需要根据实际情况进行适当的调整和计算。