行列式与它的转置行列式相等的原因是什么？

Question

如题所述

Answer 1

行列式与它的转置行列式相等如下：

行列式是一个重要的数学概念，它是一个由其行向量和列向量定义的方阵的数值。对于一个给定的方阵，其行列式的值可以通过一系列的代数操作来计算，包括对角线元素的乘积、减去每行或每列的元素乘积等。

转置行列式是指将行列式的行向量变为列向量，列向量变为行向量。也就是说，如果原来的行列式是 A，那么它的转置行列式就是 AT。

现在，我们来证明行列式和它的转置行列式相等。首先，假设我们有一个 m x n 的矩阵 A。那么，我们有 A* = (A*)T，也就是说，A* 的转置等于 A。这是因为 A 的行向量和列向量都是线性独立的，所以 A* 的行向量和列向量都是正交的，所以 A* 的转置等于它自己。

然后，我们知道 A 和 A* 都是 m x n 的矩阵，所以它们都有 m x n 的元素。而且，我们知道 A 和 A* 的元素都是由行向量和列向量的线性组合来计算的。所以，如果我们将 A 和 A* 的行向量和列向量都按照相同的排列顺序来排列，那么 A 和 A* 的元素也会按照相同的排列顺序来排列。

因此，如果我们分别计算 A 和 A* 的行列式，我们会得到两个值相等的结果。也就是说，det(A) = det(A*)。这就是为什么行列式和它的转置行列式相等的结论。