函数f（x）=1/3x^3-1/2ax^2+(a-1)x+1在区间(1,4)为减函数 在区间

Question

函数f（x）=1/3x^3-1/2ax^2+(a-1)x+1在区间(1,4)为减函数 在区间(6,正无穷大)为增函数 求参数a取值范围 这类的题目怎么做 越简单做好 谢谢

Answer 1

结合图形求解。
对函数求导 f'(x)=(x-1)(x-(a-1))，零点为1和a-1,
导函数开口向上，两根之间区域导函数为负，两根之外，导函数为正。
讨论1与a-1的大小。（不能相等，因为若相等，则导函数恒>=0，此时函数属于严格递增函数。不合题意）
（1）a-1>1;
（1,4）和（6，正无穷）区间上为减函数和增函数
，即（1,4）上导函数为负，（6，正无穷）上导函数为正
固（1,4）应该隶属于两根之间，4<=a-1,a>=5
（6，正无穷）隶属于两根之外，a-1<=6,a<=7

(2)若a-1<1，则（1,4）属于导函数=0方程的两根之外，导函数应该>0不符合题意。
综上所述，5<=a<=7
仅作参考追问

函数不是在(1.a-1)上单调减吗 怎么a还大于等于5啦

Answer 2

y'=x^2-ax+a-1
=[x-(a-1)][x-1]
∴两个根：x=(a+1)和1
讨论a-1与1的大小
1.a-1>1即a>2
则 [x-(a-1)][x-1]>0的解集为X>a-1 X2取交集
得5≤a≤7
2.a-11 X追问

那么取交集是啥意思